【洛谷 P1060】[NOIP2006 普及组] 开心的金明 题解（动态规划+01背包）

[NOIP2006 普及组] 开心的金明

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过$N$元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的$N$元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为$5$等：用整数$1-5$表示，第$5$等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过$N$元（可以等于$N$元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第$j$件物品的价格为$v[j]$，重要度为$w[j]$，共选中了$k$件物品，编号依次为$j_1,j_2,\dots ,j_k$，则所求的总和为：

$v[j_1]\times w[j_1]+v[j_2]\times w[j_2]+\dots +v[j_k]\times w[j_k]$。

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

第一行，为$2$个正整数，用一个空格隔开：$n,m$（其中$N(<30000)$表示总钱数，$m(<25)$为希望购买物品的个数。）

从第$2$行到第$m+1$行，第$j$行给出了编号为$j-1$的物品的基本数据，每行有$2$个非负整数$ v p$（其中$v$表示该物品的价格$(v \le 10000)$，$p$表示该物品的重要度($1-5$)

输出格式

$1$个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值$(<100000000)$。

样例 #1

样例输入 #1

1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2

样例输出 #1

3900

提示

NOIP 2006 普及组 第二题

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思路

假设现在已经处理了前i个物品，总共还剩下j元钱可以用于购买物品，那么在这个条件下，我们可以获得的最大的物品价值是多少？

使用了一个二维数组dp[i][j]，表示到第i个物品，总价值超过j的最大收益。其中，i表示物品编号，j表示当前的总钱数。最终，程序输出的是dp[m][n]，也就是到第m个物品，总钱数为n时可以获得的最大价值。

使用了两个for循环，第一个循环是对于每个物品的循环，第二个循环是对于钱数的循环。在每个循环中，如果当前的钱数不够买当前的物品，那么我们就不买这个物品，直接继承上一个物品的最大价值。否则，我们可以选择买或不买当前的物品，选择买或不买的原则是：买当前的物品能够获得更多的价值，就买，否则就不买。这一步用到了max()函数。

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AC代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;const int maxn = 100005;// 到第i个物品，总价值超过j的最大收益
int dp[30][maxn];int main()
{// 总钱数、个数int n, m;// 价格、重要度int v[30], w[30];cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= m; i++){cin >> v[i] >> w[i];}for (int i = 1; i <= m; i++){for (int j = 0; j <= n; j++){if(j < v[i]) {// 不够钱不买dp[i][j] = dp[i - 1][j];} else {dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + v[i] * w[i]);}}}cout << dp[m][n] << endl;return 0;
}