数据结构_ 堆结构与堆排序(c++ 实现 + 完整代码 )

堆结构与堆排序

引入堆

• 二叉树
  具有左孩子与右孩子的最普通的二叉树。

• 满二叉树
  特殊的二叉树：每个节点如果有孩子则一定同时具有左孩子与右孩子。

满二叉树的条件：

1. 要么有两个孩子，要么没有孩子
2. 叶子节点在同一层

满二叉树有如下规律：
​如果层数为n
第n层节点数 一定为 2^(n-1)
整颗树节点数 为 2^n - 1

---

• 完全二叉树
  能够使得满二叉树 从 下边和右边开始删节点的 二叉树 , 满足从右往左 从下往上删除 （和 阅读顺序 相反）

  1. 满二叉树一定是完全二叉树

  2. 完全二叉树不一定是满二叉树

• 堆

  ​ 堆是有序的完全二叉树。

  ​ 父子之间必须有序，父大于子或者子大于父，同层兄弟之间不用管

  1. 父大于子：最大堆（大顶堆）
  2. 子大于父：最小堆（小顶堆）

堆结构所满足的数学特性

下标关系：

• 150 的 下标为 0 ，260 的下标为1，290的下标为3，400的下标为7。共同点：都是父节点的左孩子，父节点的下标*2+1=左孩子的下标

• 150的下标为0，300的下标为2，400的下标为6；260的下标为1，320的下标为4，500的下标为10。共同点：都是父节点的右孩子，父节点的下标*2+2=右孩子的下标

• 相反，已知400的下标为7，则290的下标为3，260的下标为1。共同点：已知左孩子的下标，（左孩子下标-1）/2得到父节点的下标

• 已知500的下标为10，320的下标为4，260 的下标为1。共同点：已知右孩子的下标，（右孩子下标-2）/2得到父节点的下标

  总结：

  父亲推孩子：

  已知父节点下标为N
  左孩子下标为：2*N + 1

  右孩子下标为：2*N + 2

  孩子反推父亲：

  已知左孩子下标为M 父节点下标为： (M-1)/2
  已知右孩子下标为M 父节点下标为： (M-2)/2

  已知孩子下标为M 父节点下标为： (M-1)/2

准备代码

template <class T>
class My_Heap
{
private:T* pRoot;	//指向堆的指针，实际上是一个动态数组int len;	//元素个数int MaxLen;	//容量
public:My_Heap(){pRoot = nullptr;len = MaxLen = 0;}~My_Heap(){delete[] pRoot;pRoot = nullptr;len = MaxLen = 0;}//往堆中插入元素void insert(const T& data);//遍历void travel()const;//删除堆顶T pop();
};

----------- 往堆中插入元素

我们采用 小顶堆的方式，即保证孩子节点要比父亲节点大。
采用动态内存分配的方法，插入一个节点到数组中。
从堆底开始，根据下标关系找到对应的父节点.

插入步骤：（小顶堆）

1. 比较插入节点与当前父节点的关系
2. 如果比父节点小，则当前节点需要上提，交换当前节点与父节点的值
3. 如果比父节点大，则说明不冲突，则直接退出即可，因为经过以前的处理此情况一定是合法的。
4. 继续比较，直到不冲突或者到达了根节点为止。

注意：我们使用自底向上的方式，每次比较当前节点与父节点的关系，然后需要将当前节点往上提，继续比较和上一层的关系

图例：

要点：从下往上遍历，交换不合适的节点。

template<class T>
inline void My_Heap<T>::insert(const T& data)
{//动态数组//1 像动态数组一样进来if (MaxLen <= len) {//需要申请//计算需要申请的内存大小   //>>1 右移一位 等同于除以2MaxLen = MaxLen + (((MaxLen >> 1) > 1) ? (MaxLen >> 1) : 1);//1 开内存T* pNew = new T[MaxLen];if (pRoot) {//2 pArr指向内存段中数据拷贝到pNew指向内存段memcpy(pNew, pRoot, sizeof(T) * len);//3 释放pArr指向内存段delete[] pRoot;}//4 pArr指向新开内存pRoot = pNew;}pRoot[len++] = data;//循环和父节点比较，如果冲突交换，不冲突，覆盖if (len == 1){return;}int CurrentIdx= len - 1;				//孩子节点int ParentIdx = (CurrentIdx - 1) / 2;	//父节点T temp;while (1){if (CurrentIdx <= 0)break;		//没有父节点，循环结束ParentIdx = (CurrentIdx - 1) / 2;if (pRoot[ParentIdx] < pRoot[CurrentIdx])break;	//不冲突，孩子父亲大，则停止//否则，交换元素temp = pRoot[ParentIdx];pRoot[ParentIdx] = pRoot[CurrentIdx];pRoot[CurrentIdx] = temp;//遍历完一次后，接着往上移动，开始重新一次比较CurrentIdx = ParentIdx;}
}

不使用动态内存分配：

void InsertData(int val){arr[++this->size] = val;if (this->size == 1) return;int curLen = this->size;//当前节点int parentLen = curLen >> 1;//父节点while (true){if (curLen <= 1) break;//到达根节点，退出//比较和父节点的关系，比父节点小则交换parentLen = curLen >> 1;if (arr[curLen] > arr[parentLen]){break;}swap(arr[curLen], arr[parentLen]);curLen = parentLen;}}

----------- 删除堆顶

从堆顶开始，把最后一个元素覆盖堆顶元素，接着根据下标关系，找到堆顶的孩子节点，比较两个孩子谁是最小孩子，如果堆顶比最小孩子节点小，则退出（小顶堆）。否则，交换两个节点，要保证父小于子。然后顶堆往下移动，移动到下一层的父节点，比较父子关系。确保在覆盖了原堆顶（即删除了原堆顶）后，整个堆结构仍然是以小堆顶的结构，因此要进行重排，直到数组下标越界为止。

步骤：

1. 最后一个元素覆盖堆顶元素
2. 当前节点寻找两个孩子节点的最小的那个，并且把那个最小的与当前节点的值作交换
3. 当前节点下移，继续寻找最小的元素并且作交换
4. 直到超过了下界之后停止。

注意：如果堆顶元素比左右孩子最小的元素都小，则不冲突，因此直接结束循环

图例：

要点：从上往下遍历，重排堆结构的父子关系。

template <class T>
//删除堆顶
T MyHeap<T>::pop(){if (0 == len){cout << "堆为空，删除失败!" << endl;return (T)0;}//没法删if (1 == len){//只有一个len--;return pRoot[0];}//1 临时保存堆顶元素T temp = pRoot[0];//2 最后一个覆盖堆顶元素pRoot[0] = pRoot[len - 1];//3 循环  int currentIdx = 0;//从堆顶开始int minChildIdx;while (1){//数组结束 if ((currentIdx * 2 + 1) > (len - 1) ||(currentIdx * 2 + 2) > (len - 1)){break;}// 找到最小的孩子 minChildIdx = currentIdx * 2 + 1;//假定左孩子比较小//如果左孩子比右孩子大，右孩子最小if (pRoot[minChildIdx] > pRoot[minChildIdx + 1]) minChildIdx++;//比最小孩子还小 循环结束if (pRoot[len-1] < pRoot[minChildIdx]) break;//当前位置和最小孩子交换 //子覆盖父//简单交换方式temp1 = pRoot[CurrentIdx];pRoot[CurrentIdx] = pRoot[MinChildIdx];pRoot[MinChildIdx] = temp1;//往下移动currentIdx = minChildIdx;}//4 返回len--;return temp;
}

不使用动态内存分配

int pop(){/*删除堆顶元素*/if (this->size == 1){this->size = 0;return arr[1];}//1. 最后一个元素覆盖堆顶元素int temp = arr[1];arr[1] = arr[this->size];int curLen = 1;//当前节点int childLen = curLen << 1;//孩子节点while (true){//下移超过了边界则退出if (((curLen << 1) > this->size) || (curLen << 1 | 1) > this->size){break;}//找到两个孩子中最小的一个childLen = curLen << 1;//默认最小的是左孩子if (arr[childLen] > arr[childLen + 1]){childLen += 1;//最小的为右孩子}//堆顶比最小的孩子还小，则无需交换if (arr[this->size] < arr[childLen]) break;//交换当前节点与孩子节点的值swap(arr[childLen], arr[curLen]);curLen = childLen;//下移到孩子}this->size--;//最后总的个数要减一个return temp;}

堆排序构建

template <class T>
//直接用数组方式来构建堆
void MyHeap<T>::initHeap(T* pArr, int size){//开内存maxLen = size;len = 0;pRoot = new T[size];//数据进来pRoot[len++] = pArr[0];//第一个int currentIdx;int parentIdx;for (int i = 1; i < size; i++){currentIdx = len;parentIdx = (currentIdx - 1) / 2;//数据先放进来pRoot[currentIdx] = pArr[i];while (1){if (currentIdx <= 0) break;//没有父节点 循环结束parentIdx = (currentIdx - 1) / 2;if (pRoot[parentIdx] < pRoot[currentIdx]) break;//冲突 父节点覆盖子节点pRoot[currentIdx] = pRoot[parentIdx];//往上移currentIdx = parentIdx;}//新数据覆盖回来pRoot[currentIdx] = pArr[i];//个数增加len++;}
}

完整代码及测试

动态分配版本

#pragma once
#include <iostream>
using namespace std;
template <class T>
class My_Heap
{
private:T* pRoot;	//指向堆的指针，实际上是一个动态数组int len;	//元素个数int MaxLen;	//容量
public:My_Heap(){pRoot = nullptr;len = MaxLen = 0;}~My_Heap(){delete[] pRoot;pRoot = nullptr;len = MaxLen = 0;}//往堆中插入元素void insert(const T& data);//遍历void travel()const;//删除堆顶T pop();void initHeap(T* pArr, int size);
};template<class T>
inline void My_Heap<T>::insert(const T& data)
{//动态数组//1 像动态数组一样进来if (MaxLen <= len) {//需要申请//计算需要申请的内存大小   //>>1 右移一位 等同于除以2MaxLen = MaxLen + (((MaxLen >> 1) > 1) ? (MaxLen >> 1) : 1);//1 开内存T* pNew = new T[MaxLen];if (pRoot) {//2 pArr指向内存段中数据拷贝到pNew指向内存段memcpy(pNew, pRoot, sizeof(T) * len);//3 释放pArr指向内存段delete[] pRoot;}//4 pArr指向新开内存pRoot = pNew;}pRoot[len++] = data;//循环和父节点比较，如果冲突交换，不冲突，覆盖if (len == 1){return;}int CurrentIdx= len - 1;				//孩子节点int ParentIdx = (CurrentIdx - 1) / 2;	//父节点T temp;while (1){if (CurrentIdx <= 0)break;		//没有父节点，循环结束ParentIdx = (CurrentIdx - 1) / 2;if (pRoot[ParentIdx] < pRoot[CurrentIdx])break;	//不冲突，循环继续//效率较低temp = pRoot[ParentIdx];pRoot[ParentIdx] = pRoot[CurrentIdx];pRoot[CurrentIdx] = temp;//往上移动CurrentIdx = ParentIdx;}
}template<class T>
inline void My_Heap<T>::travel() const
{for (int i = 0; i < len; i++){cout << pRoot[i] << " ";}cout << endl;
}template<class T>
inline T My_Heap<T>::pop()
{if (len == 0){cout << "堆为空!\n";return (T)0;}if (len == 1){len--;	//只有一个元素return pRoot[0];}//1. 临时保存堆顶元素T temp = pRoot[0];T temp1;//2. 最后一个元素覆盖堆顶元素pRoot[0] = pRoot[len - 1];//从堆顶开始int CurrentIdx = 0;int MinChildIdx;while (1){//越界if ((CurrentIdx * 2 + 1) > (len - 1) ||(CurrentIdx * 2 + 2) > (len - 1)){break;}//找到最小孩子//先假设左孩子比较小MinChildIdx = CurrentIdx * 2 + 1;if (pRoot[MinChildIdx] > pRoot[MinChildIdx + 1]){MinChildIdx++;	//右孩子比较小}//如果比最小孩子还小if (pRoot[len-1] < pRoot[MinChildIdx])break;//需要交换，采用简单交换, 子覆盖父temp1 = pRoot[CurrentIdx];pRoot[CurrentIdx] = pRoot[MinChildIdx];pRoot[MinChildIdx] = temp1;//父节点往下移动CurrentIdx = MinChildIdx;}len--;return temp;
}template <class T>
//直接用数组方式来构建堆
void My_Heap<T>::initHeap(T* pArr, int size) {//开内存MaxLen = size;len = 0;pRoot = new T[size];//数据进来pRoot[len++] = pArr[0];//第一个int currentIdx;int parentIdx;for (int i = 1; i < size; i++) {currentIdx = len;parentIdx = (currentIdx - 1) / 2;//数据先放进来pRoot[currentIdx] = pArr[i];while (1) {if (currentIdx <= 0) break;//没有父节点 循环结束parentIdx = (currentIdx - 1) / 2;if (pRoot[parentIdx] < pRoot[currentIdx]) break;//冲突 父节点覆盖子节点pRoot[currentIdx] = pRoot[parentIdx];//往上移currentIdx = parentIdx;}//新数据覆盖回来pRoot[currentIdx] = pArr[i];//个数增加len++;}
}

#include "MyHeap.h"#define NUM 11
int main()
{int arr[NUM] = { 150,260,300,290,320,350,500,400,450,490,500 };My_Heap<int> a;/*for (int i = 0; i < NUM; i++){a.insert(arr[i]);a.travel();}*/a.initHeap(arr, NUM);a.travel();return 0;
}

非动态版本

P1177 【模板】快速排序 ----排序测试

Ac code

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e5 + 10;
const int CurSize = 1e5 + 10;
struct Tree
{int arr[N];int size;Tree() { memset(arr, 0, sizeof(arr)); size = 0; }void InsertData(int val){arr[++this->size] = val;if (this->size == 1) return;int curLen = this->size;//当前节点int parentLen = curLen >> 1;//父节点while (true){if (curLen <= 1) break;//到达根节点，退出//比较和父节点的关系，比父节点小则交换parentLen = curLen >> 1;if (arr[curLen] > arr[parentLen]){break;}swap(arr[curLen], arr[parentLen]);curLen = parentLen;}}int pop(){/*删除堆顶元素*/if (this->size == 1){this->size = 0;return arr[1];}//1. 最后一个元素覆盖堆顶元素int temp = arr[1];arr[1] = arr[this->size];int curLen = 1;//当前节点int childLen = curLen << 1;//孩子节点while (true){//下移超过了边界则退出if (((curLen << 1) > this->size) || (curLen << 1 | 1) > this->size){break;}//找到两个孩子中最小的一个childLen = curLen << 1;//默认最小的是左孩子if (arr[childLen] > arr[childLen + 1]){childLen += 1;//最小的为右孩子}//堆顶比最小的孩子还小，则无需交换if (arr[this->size] < arr[childLen]) break;//交换当前节点与孩子节点的值swap(arr[childLen], arr[curLen]);curLen = childLen;//下移到孩子}this->size--;//最后总的个数要减一个return temp;}
};
signed main()
{Tree t;int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){int p;cin >> p;t.InsertData(p);}while (t.size != 0){cout << t.pop() << " ";}return 0;
}