Fourier傅里叶变换的线性性质和位移性质

Fourier傅里叶变换的线性性质和位移性质

为了阐述方便, 假定在这些性质中, 凡是需要求Fourier变换的函数都满足Fourier积分定理中的条件。在证明这些性质时, 不再重述这些条件。

一、线性性质

设$F_1(\omega )=\mathcal{F}[f_1(t)]$, $F_2(\omega )=\mathcal{F}[f_2(t)]$，$\alpha$和$\beta$是常数，则：

$$\mathcal{F}\left[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)\right]=\alpha F_1(\omega )+\beta F_2(\omega )$$

这个性质表明了函数线性组合的Fourier变换等于各函数Fourier变换的线性组合. 它的证明只需根据定义就可推出.

Fourier逆变换亦具有类似的线性性质.
$${\mathcal{F}}^{-1}\left[\alpha F_1(\omega )+\beta F_2(\omega )\right]=\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)$$

二、 位移性质

$$\mathcal{F}\left[f(t\pm t_0)\right]={\mathrm{e}}^{\pm \mathrm{j}\omega t_0}\mathcal{F}\left[f(t)\right]$$