算法通过村第六关-树青铜笔记|中序后序

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前言

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提示：瑞秋是个小甜心，她只喜欢被爱，不懂的去爱人。 --几米《你们 我们 他们》

树是一种非常重要的数据结构，在算法和工程中都有大量的应用，我们这里从概念一步一步学习，闯过这一关，掌握树的基本特征以及遍历方面的基础问题。

1. 树的常见概念

树是一个有n个有限节点组成一个具有层次关系的集合，每个节点有0个或者多个子节点，没有父节点的节点为称为根节点，也就是说除了根节点以为每个节点都有父节点，并且有且只有一个节点。树的种类有很多，最常见的就是二叉树了，基本结构如下：

参考上面图的结构，可以很方面的理解树的概念：

1. 节点的度：一个节点含有的几点的个数称为该节点的度
2. 树的度：一颗树中，最大的节点的度称为树的度，注意与节点度的区别
3. 叶节点或者终端节点：度为0的节点称为叶节点
4. 非终端节点或者分支节点：度不为0的节点
5. 双亲节点或者父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点
6. 孩子节点或者子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点
7. 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点
8. 节点的祖先：从根节点到该节点所有分支上的所有节点
9. 子孙：以某节点为根节的子树中任一节点都称为该节点的子孙
10. 森林：有m（m >= 0 )课互不相交的树的集合称为森林
11. 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树
12. 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树
13. 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树

2. 树的性质

• 性质1：在二叉树的第i层上至多有2^(i - 1)个节点（i > 0)
• 性质2：深度为k的二叉树之多有2^k - 1 个节点（k > 0)
• 性质3：对于任意一颗二叉树，如果其叶节点数为N0，而度数为2的节点总数为N2，则N0 = N2 + 1
• 性质4：具有n个节点的完全二叉树的深度必为log2（n + 1）
• 性质5：对完全二叉树，若从上至下，从左至右编号，则编号为i的节点，其左孩子的编号一定是2i，其右孩子必是2i+ 1；其双亲的编号是i/2(i == 1 时为根，除外哈🤣)

满二叉树和完全二叉树是经常晕的问题，我们有必要单独看一下，满二叉树就是如果一棵二叉树只有度为0的节点和度为2的节点，而且度为0的节点在同一层，则这棵二叉树为满二叉树。

这颗二叉树为满二叉树，也可以说深度为k=4，有2^k -1 = 15个 节点的二叉树。

完全二叉树的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没有填满外，其余每层节点点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层的最左侧的若干位置。

这个定义，就有些恶心了，估计大部分看了之后还是不懂什么是完全二叉树，看看下面的图：

前面两棵树的前n-1层都是满的，最后一层所有子节点都集中在左侧区域，而且节点之间不能有间隙。最后一个为什么呢？他有一个节点缺少一个左子节点/

3. 树的定义与存储方式

注意：

这里我们主要看原理，不执行代码，采用伪代码的方式，理解方便一些

定义树的原理和前面讲的链表本质上差不多，只不过多了一个指针，如果是二叉树的化，只要在链表上的定义增加一个指针就可以了：

public class TreeNode{int val;TreeNode left;TreeNode right;
}

这里本质上就是两个引用，分别指向两个位置，为了方便理解，我们称为左孩子和右孩子。如果是N叉树要如何定义呢？其实就是每个节点最多可以有N个节点指向其他位置，这里就不用left和right，我们使用List存储就行了，也就是如下：

// 定义N叉树
public class TreeNode {int val;List<TreeNode> nodes;
}

那么是否可以采用数组的方式存储二叉树呢？其实就是用数组来存储二叉树的，顺序存储的方式如图：

用数组来存储二叉树如何遍历呢？如果父节点的数组下标i，那么它的做还是就是 i* 2 + 1，右孩子就是 i * 2 + 2.

但是用链式表示二叉树，更方便我们理解，所以一般也采用链式二叉树。所以大家要知道一点，数组也是可以便是二叉树的。

使用数组存储的最大问题就是可能存在大量的空间浪费。如图上面假设b没有分支,那么数组1 3 4就空着，但是整个数组的大小仍然是7，因此很少使用数组来存储树。

4. 树的遍历方式

我们常见的树的遍历方式，层次遍历和深度优先遍历两种：

• 深度优先遍历：先往深走，遇到叶子节点再往回走
• 广度优先遍历：一层一层的去遍历，一层遍历完再访问下一层

这两种遍历方式不仅仅是二叉树，N叉树也是，图结构也有，我们更常见的叫法：广度优先和深度优先，本质上是一回事。深度优先又有前中后三种，避免混淆，我们记住一点：前指的是中间的父节点再遍历中的顺序，只要明白了这一点，前中后序就是指中间节点的位置就可以了。

看如下中间节点的顺序，就可以发现问题，访问中间节点的顺序就是所谓的遍历方式

前序遍历：中左右
中序遍历：左中右
后序遍历：左右中

大家试着画图写一写，看看自己是否真的理解前中后序了。

后面大量的算法都与这四种（层次，前中后）遍历方式有关，有的题目根据处理角度不同，可以用层次遍历，也可以用一种甚至两种深度优先的方式来实现。

5. 通过序列构建二叉树

前面我们已经介绍了怎么些前中后序的过程，这里我们看一看怎么通过序列来恢复原始二叉树：

前序遍历：中左右 [5 4 1 2 6 7 8]
中序遍历：左中右 [1 4 2 5 7 6 8]
后序遍历：左右中 [1 2 4 7 8 6 5]

5.1 前中序列恢复二叉树

我们先看看如何通过中前序列恢复二叉树：

前序遍历：中左右 [5 4 1 2 6 7 8]
中序遍历：左中右 [1 4 2 5 7 6 8]

• 第一轮

我们先从前序第一个就是访问根节点，所以根节点是5

中序遍历的特点是根节点的左子树的元素在根节点左侧，右子树的元素都在根节点右侧，从中序遍历序列我们可以划分成如下结构：

前序序列划分：
5 [ 4 1 2 ] [ 6 7 8 ]
中序序列划分：
[ 1 4 2 ] 5 [ 7 6 8 ] 

当然前序序列第一个括号里面的都是左子树的元素，第二个括号一定都是右子树的元素。

那么这里怎么将这两个括号从哪里分开，我们彩照中序的两个数组划分。我们看前序2之前的元素都在第一个括号中，7之后的元素都在第二个数组中，所以这里从2和7之间划分。

由此我们画图表示一下，看下此时的树的结构：

• 第二轮：

我们先看两个序列的第一个数组

根据上面的划分方法：

前序序列划分：
4 [ 1 ] [ 2 ] 
中序序列划分：
[ 1 ] 4 [ 2 ] 

此时树的结构为：

• 第三轮

我们看两个序列的第二个数组

根据上面的划分方法：

前序序列划分：
6 [ 7 ] [ 8 ] 
中序序列划分：
[ 7 ] 6 [ 8 ] 

此时树的结构为：

如此就是最终效果了，可以和上面的图对比一下。

5.2 中后序列恢复二叉树

通过中序和后序也能恢复原始序列，唯一不同的是后续的最后一个是根节点，中序的处理上面是一样的过程。

中序遍历：左中右 [1 4 2 5 7 6 8]
后序遍历：左右中 [1 2 4 7 8 6 5]

这里读者可以自行尝试，我这里不做赘述了。

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Q&A💡：

那么有疑问了，为什么前序和后序不能恢复二叉树？

前序遍历：中左右 [5 4 1 2 6 7 8]
后序遍历：左右中 [1 2 4 7 8 6 5]

我们看前序和后序，通过前序我们可以知道根节点，通过后序我们也只能知道根节点，那么中间的部分要怎么划分呢?那些元素属于左子树，那些元素属于右子树呢?很显然，我们不得而知，所以用前序和后序不能恢复二叉树。

推荐力扣的题目⭐⭐⭐：

前序和中序造树：105. 从前序与中序遍历序列构造二叉树 - 力扣（LeetCode）

中序和后序造树：106. 从中序与后序遍历序列构造二叉树 - 力扣（LeetCode）

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总结

提示：树的概念，二叉树、完全二叉树、满二叉树，树的恢复，前中后序序列