线性dp，优化，272. 最长公共上升子序列

272. 最长公共上升子序列 - AcWing题库

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。

小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。

小沐沐说，对于两个数列 A 和 B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。

奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。

不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

数列 A 和 B 的长度均不超过 3000。

输入格式

第一行包含一个整数 N，表示数列 A，B 的长度。

第二行包含 N 个整数，表示数列 A。

第三行包含 N 个整数，表示数列 B。

输出格式

输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。

数据范围

1≤N≤3000,序列中的数字均不超过 231−1。

输入样例：

4
2 2 1 3
2 1 2 3

输出样例：

2

 解析

(DP,线性DP,前缀和) O(n2)
这道题目是AcWing 895. 最长上升子序列和AcWing 897. 最长公共子序列的结合版，在状态表示和状态计算上都是融合了这两道题目的方法。

状态表示：

f[i][j]代表所有a[1 ~ i]和b[1 ~ j]中以b[j]结尾的公共上升子序列的集合；
f[i][j]的值等于该集合的子序列中长度的最大值；
状态计算（对应集合划分）：

首先依据公共子序列中是否包含a[i]，将f[i][j]所代表的集合划分成两个不重不漏的子集：

不包含a[i]的子集，最大值是f[i - 1][j]；
包含a[i]的子集，将这个子集继续划分，依据是子序列的倒数第二个元素在b[]中是哪个数：
子序列只包含b[j]一个数，长度是1；
子序列的倒数第二个数是b[1]的集合，最大长度是f[i - 1][1] + 1；
…
子序列的倒数第二个数是b[j - 1]的集合，最大长度是f[i - 1][j - 1] + 1；
如果直接按上述思路实现，需要三重循环：

作者：yxc
链接：https://www.acwing.com/solution/content/4955/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{for (int j = 1; j <= n; j ++ ){f[i][j] = f[i - 1][j];if (a[i] == b[j]){int maxv = 1;for (int k = 1; k < j; k ++ )if (a[i] > b[k])maxv = max(maxv, f[i - 1][k] + 1);f[i][j] = max(f[i][j], maxv);}}
}作者：yxc
链接：https://www.acwing.com/solution/content/4955/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

 优化后将三重循环压缩成两成层循环

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 3e3 + 5;
int n;
int a[N], b[N],f[N][N];int main() {scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d", &a[i]);}for (int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d", &b[i]);}for (int i = 1; i <= n; i++) {int maxv = 1;for (int j = 1; j <= n; j++) {f[i][j] = f[i - 1][j];if (a[i] == b[j]) {f[i][j] = max(f[i][j], maxv);}if (a[i] > b[j])maxv = max(maxv, f[i - 1][j]+1);}}int ans = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {ans = max(ans, f[n][i]);}cout << ans << endl;return 0;
}