差分方程模型：国民总收入(GDP)的乘数-加速数模型

【背景知识-凯恩斯经济增长模型】

凯恩斯(John M.Keynes)建立了著名的国民经济增长模型。令Y表示国民总收入，C表示总消费，E为总支出，I表示投资，G为政府的投入（如基建等）。那么有

【6.1】

其中，c0表示最低消费，它由储蓄率等决定；c(0≤c≤1)称为边际消费，反映了消费随着收入增加而增加的系数。

在[6.1]里，令Y=E，即有【6.2】

由【6.2】看出，I,G越大，Y越大;c越大，Y越大。即扩大消费、增加投资和国家投入可以促进国民总收入的增加。其中称为乘数。

【问题提出】

扩大消费促进投资，从而增加国民收入。诺贝尔经济学奖1970年获得者萨缪尔森(P.A.Samuelson)建立了一个十分简单的乘数-加速数模型，并可以化为一个二阶差分方程，通过求解此方程就可以解释经济增长中的一些重要现象。

【符号说明】

【模型构建】 

第t年的国民总收入等于当年的总消费与总投资之和，即

第t年的总消费等于基本消费c0与上一年的总收入与边际消费c之和 

第t年的总投资等于自发性投资与诱发性投资之和，即 

其中，β(0≤β≤1）刻画消费增长对投资的刺激作用。 

总结上面的分析结果，就得到如下数学模型

【6.3】

三个方程迭代后，整理出【6.4】

这是一个关于国民收入的二阶常系数线性非齐次差分方程。其对应的齐次方程所对应的特征方程为

关于根的判别式为

特征方程的两个根为

又由韦达定理，所以有

即特征根只有两种情况：

令代入【6.4】解得此平衡点稳定的充分必要条件是特征根都位于单位圆内，即【6.5】

即国民收入Y的用于消费的比例c和消费增量用于投资的比例β满足【6.5】即可。