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线性代数基础-行列式

news 2025/10/14 19:18:20

一、行列式之前的概念

1.全排列：

把n个不同的元素排成一列，称为n个元素的全排列，简称排列

（实际上就是我们所说的排列组合，符号是A，arrange）

2.标准序列：

前一项均小于后一项的序列就是标准序列

比如 1，3，6，7，9就是标准序列

3.逆序数：

序列中满足前一项大于后一项的数对个数

比如有一个序列：{1，6，9，2，3，4}
遍历该序列，看每个数之前有几个数比它大，加和就是逆序数的值

4.奇偶排列

排列的奇偶性与逆序数的奇偶性相同

5.对换

将序列里任意两个元素交换，这个过程叫对换

对换相邻元素的，称为“相邻对换”

经过任一次对换，排列的奇偶性改变

奇排列变成标准序列的对换次数是奇数，偶排列变成标准序列的对换次数是偶数

二、N阶行列式的展开

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc$

有n行n列的这样的式子是n阶行列式，上图为二阶行列式

$\begin{vmatrix} a11 & a12&a13 \\ a21 & a22&a23\\ a31&a32&a33 \end{vmatrix} = (a11*a22*a33)-(a11*a23*a32)+(a12*a23*a31)-(a12*a21*a32)+(a13*a21*a32)-(a13*a22*a31)$

而行列式的值应按照以下规则计算
按**序列奇偶性(见上文)**决定符号,并逐行把数字相乘：
在这里插入图片描述
我们可以把矩阵理解为一个值，甚至常数，所以它满足我们学过的一切乘法，加法性质

三、三角行列式

主对角线：左上到右下
上三角行列式的主对角线下方都是0，行列式值等于主对角线乘积
注意：左下到右上不是主对角线

1.三角行列式

上三角行列式
$\begin{vmatrix} 1 & 2 &3\\ 0 & 1&2\\ 0&0&2 \end{vmatrix} = 1 * 1 *2$
下三角行列式
$\begin{vmatrix} 1 & 0 &0\\ 4 & 1&0\\ 3&1&2 \end{vmatrix} = 1 * 1 *2$
对角行列式
$\begin{vmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 1&0\\ 0&0&2 \end{vmatrix} = 1 * 1 *2$

四、行列式的性质

1.转置

对每一列，从上到下书写到行上，行列式的值不变
$\begin{vmatrix} a & b &c\\ d & e&f\\ g&h&i \end{vmatrix} =D^T= \begin{vmatrix} a & d &g\\ b & e&h\\ c&f&i \end{vmatrix}$

2.交换

我们可以交换行列式的任意两行或者两列，但是会导致值变为相反数
推论1：若行列式D交换一次后，仍等于D，则D=0
推论2：若行列式有两行(列)相等，则行列式为0（交换后D=-D）
$\begin{vmatrix} a & b &c\\ d & e&f\\ g&h&i \end{vmatrix} = (-1)* \begin{vmatrix} a & b &c\\ g & h&i\\ d & e&f \end{vmatrix}$

3.提取

我们可以把任意一个行或者一列的系数提取到行列式之前
推论：若两行(列)成比例，则行列式为0

$\begin{vmatrix} 2a &2 b &2c\\ 2d & 2e&2f\\ g&h&i \end{vmatrix} =2* \begin{vmatrix} 2a & 2b &2c\\ d & e&f\\ g&h&i \end{vmatrix}$

4.拆分

$\begin{vmatrix} a +x& b+y\\ c +z& d+w\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b+y\\ c & d+w\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x& b+y\\ z& d+w\\ \end{vmatrix}$
我们可以把行列式任意行(列)拆分成和的形式，然后转换为行列式的和
但是要注意我们每次只能拆分一行(列)，多行(列)拆分是错误的
$\cancel{ \begin{vmatrix} a +x& b+y\\ c +z& d+w\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x& y\\ z& w\\ \end{vmatrix}}$

5.调整

把任意一行(列)乘以k之后可以加到另一行(列)上，行列式不变
通常这样得到三角行列式来快捷计算
$\begin{vmatrix} a & b &c\\ d & e&f\\ g&h&i \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b &c\\ d+k *a & e+k*b&f+k*c\\ g&h&i \end{vmatrix} (k任取)$
例如我们可以轻易把某些行列式调整为三角行列式
$\begin{vmatrix} 1 & 1 &2\\ 4 & 3&1\\ 3&2&2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 &2\\ 0 & -1&-7\\ 0&-1&-4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 &2\\ 0 & -1&-7\\ 0&0&3 \end{vmatrix} = 1*(-1)*3 = -3$

五、行列式的余子式和代数余子式

1.余子式

$=\begin{vmatrix} a & b &c\\ d & e&f\\ g&h&i \end{vmatrix}$

$M_{ij}是把D划去第i行j列的(n-1)阶行列式$

$M_{22} = \begin{vmatrix} a & \cancel{b} &c\\ \cancel{d} & \cancel{e} & \cancel{f} \\ g& \cancel{h} &i \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a &c\\ g & i\\ \end{vmatrix}$

2.代数余子式

$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

3.按行或按列展开

$D_{n}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}$
这是按行展开，其实就是对某一行遍历，然后划掉当前元素所在行列求代数余子式，然后乘当前位置的值，按列展开同理。

六、特殊行列式

1.和固定型

$D_{n} =\begin{vmatrix} a & b &b&...&b\\ b & a&b&...&b\\ b&b&a&...&b\\ ...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&b\\ b&b&...&b&a\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a+nb & a+nb &a+nb&...&a+nb\\ b & a&b&...&b\\ b&b&a&...&b\\ ...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&b\\ b&b&...&b&a\\ \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & 1 &1&...&1\\ b & a&b&...&b\\ b&b&a&...&b\\ ...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&b\\ b&b&...&b&a\\ \end{vmatrix}$
接下来就可以愉快的用第一行把行列式消成三角了
$\begin{vmatrix} 1 & 1 &1&...&1\\ 0 & a-b&0&...&0\\ 0&0&a-b&...&0\\ ...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&0\\ 0&0&...&0&a-b\\ \end{vmatrix} = (a-b)^{n-1}$

2.范德蒙德行列式

$D_{n} = \begin{vmatrix} x_1^0 & x_2^0 &x_3^0&...&x_n^0\\ x_1^1 & x_2^1 &x_3^1&...&x_n^1\\ x_1^2 & x_2^2 &x_3^2&...&x_n^2\\ ...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&x_n^{n-1}\\ x_1^n & x_2^n&x_3^n&...&x_n^n\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 1 &1&...&1\\ x_1^1 & x_2^1 &x_3^1&...&x_n^1\\ x_1^2 & x_2^2 &x_3^2&...&x_n^2\\ ...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&x_n^{n-1}\\ x_1^n & x_2^n&x_3^n&...&x_n^n\\ \end{vmatrix}$

这样的行列式称为“范德蒙德行列式”
一般按照以下规则计算

$D_n = \prod_{1<=i<j<=n}{(x_j-x_i)} = \\ ----------------------------\\ (x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n-2})...(x_n-x_{1})\\(x_{n-1}-x_{n-2})(x_{n-1}-x_{n-3})...(x_{n-1}-x_{1})\\ ...\\ (x_{3}-x_{2})(x_{3}-x_{1})\\ (x_{2}-x_{1})$

证明过程如下
在这里插入图片描述

七、克莱姆法则（Cramer’s Rule）

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2+a_{13}x_3 +... +a_{1n}x_n= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2+a_{23}x_3 +... +a_{2n}x_n= b_2 \\ ...\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2+a_{n3}x_3 +... +a_{nn}x_n= b_n \end{cases}$
对于这样一个方程组，我们定义一个行列式，只存它的系数，称为”系数行列式”
$D_{n} =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13}&...&a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&...&a_{3n}\\ ...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&a_{(n-1)n}\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{n(n-1)}&a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

应用：克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:

当方程组的系数行列式不等于零时，方程组且具有唯一解；
如果方程组无解或者有两个不同的解，方程组的系数行列式等于零
克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都成立。

克莱姆法则的局限性：

方程个数与未知数的个数不同时，系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效。
运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式