CMU15-213 课程笔记 04-Floating Point

浮点数如何用二进制表示

计算机内部的浮点数不是这样存在内存里的（至少C语言不是）但我们可以这样使用二进制来表示浮点数：

这样的表示方法有很大的局限，我们只能方便地表示 1/2，1/4 这样的数，如果要表示 1/3 之类的数字，那么只能是近似值

IEEE 浮点数标准

在1985以前，每一种计算机都可能有他自己的实现浮点数的方法，直到1985年计算机协会发布了 IEEE 754 标准，使得计算机厂商采用了一致的标准来支持浮点数

IEEE 浮点数实现

它使用一种类似科学计数法的方法来表示数字

其中：

• S 是符号位（0 或 1，用来设置是正还是负）
• M 是尾数（是一个在 1 ~ 2 之间的数字）
• 然后乘以 2 的 E 次幂（E 会以二进制幂形式用来扩大或减小 M 尾数，无论是32bits还是64bits）

所有浮点数都必须用这种方式来实现

IEEE 浮点数在内存里

32 bits 计算机中的 float：

• 1 位的 s 用来表示符号
• 8 位的 exp 指数，用来表示一种类似科学计数法的位数
• 23 位的 frac 尾数，也就是科学技术法的前半部分数值

E = exp - bias 计算指数

exp = 000…0 和 exp = 111…1 都是特殊的值，我们稍后讨论

指数 E 的值被解释为：以 偏置 biased 形式表示

所以 E 的实际值是 exp - bias

简单来说，exp 就是那个 7 位的值，把 exp 减去一个 bias 偏置值，就得到了 E 值！

对于 32 bits 的 float 浮点数来说，bias = 127，8 bits 的最高位权重是 128，128 - 1 = 127 就是 bias 了

那么 64 bits 呢？64 bits 的 exp 有 11 位，那么 11 bits 的最高权重就是 1024，1024 - 1 = 1023 就是 bias

我们此时得到了 bias = 127，接下来计算 exp 值

exp 值只需要把 除了第一位 以外 剩下的 7 位 当做二进制数字来计算就好了（这其实也是正负数补码的计算方式！）

这样做的好处是，如果要比较2个浮点数，刨去第一位以后就可以直接进行位运算比较！十分方便

• 最大的值就是 011111…1
• 最小的值就是 10000…0

M = 1.xxx 尾数计算

最小的尾数是 0000…0，此时 M = 1.0
最大的尾数是 1111…1，此时 M 超级接近 2.0

尾数就是 1.xxx 后面的 xxx，你把一堆 0 加起来当然是 0

你把一堆 1 加起来，那就是 1/2 + 1/4 + 1/8 … 最后当然是非常接近 1 的一个数

举例：对一个浮点数进行转换

多说无益，我们来举个例子，令 float F = 15213.0

经过二进制 表示，得到 15213（10进制的）= 11101101101101（二进制的）

使用科学计数法表示，得到 1.1101101101101 乘以 2的13次方

这样我们就得到了尾数 frac 和 M 的值：

• M = (去掉1.) 1101101101101
• frac = 11011011011010000000000

同时我们也得到了：

• E = 13（因为指数是13）
• Bias = 127（32 bits 的 float 就是127）
• Exp = 140（10001100，因为 Exp - Bias = 13，所以 Exp = 140）

这就是结果了，我们成功把 15213 这个十进制数，存到内存这个二进制结构里了~

一些关于浮点数的计算等等

后续关于浮点数在计算机里应用的细节内容可能会补上，暂时跳过，请看原视频~