EM@基本初等函数@幂和根式@指数函数

abstract

• 基本初等函数@幂和根式@指数函数

指数和幂

正整指数幂

• $a^n$=$\underset{n个}{\underbrace{a\cdots a}}$,$n\in {\mathbb{N}}^{+}$

• 其中$a^n$称为**$a$的$n$次幂**

• $a$叫做幂的底数,$n$叫做幂的指数

• 正整指数幂满足:$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$,$(m>n,a\ne 0)$

• 也可以递归地定义成：

  $a^n=\{\begin{array}{ll}1& (n=0)\\ a\cdot a^{n-1}& (n>0)\\ {\left(\frac{1}{a}\right)}^{-n}& (n<0)\end{array}$

整数指数幂

• 将$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},(m>n,a\ne 0)$的条件$m>n$取消,则推广到了整数指数幂($m-n\in \mathbb{Z}$)

  • 例如$\frac{a^3}{a^5}$=$a^{-2}$

• 整数指数幂中规定$a^0=1,(a\ne 0)$,$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$,$a\ne 0$,$n\in {\mathbb{N}}^{+}$

• 即任何负整数次幂的计算都可以转化为含正整数指数幂的算式表示和计算

• 例如$a^{-2}$=$\frac{a^0}{a^2}$=$\frac{1}{a^2}$

• Note:$a=0$时$a^0$比较特殊,参考幂 (wikipedia.org)

  • 如果要给它($0^0$)指定一个值,通常是1
  • 若$a=0$,$a^{-2}=\frac{a^0}{a^2}$没有意义,但在其他地方,使用有定义的$0^0$是方便的
  • 在中学阶段可姑且认为$0^0$没有定义

方根和分数指数幂

• 下面讨论实数范围内的方根概念
• 和根的个数相关的结论都限定在实数范围内
• 复数范围内在此不讨论

简单低次方根

• $x^2=a$,则$x$称为$a$的平方根或二次方根
  • 实数范围i内的平方根情况分析:
    • 若$a>0$,则$x=\pm \sqrt{a}$,共2个平方根
    • 若$a=0$,则$x=0$,仅一个平方根
    • 若$a<0$,则实数范围内没有平方根
• $x^3=a$,则$x$称为$a$的立方根或三次方根
  • 实数范围内,$x^3=a$有且仅有1个根$\sqrt[3]{a}$
  • Note:根据代数学基本定理,复数范围内有3个立方根(包含重根)

$n$次方根

• 若$\exists x$ s.t. $x^n=a$,$(a\in \mathbb{R},n>1,n\in {\mathbb{N}}_{+})$,则$x$是实数**$a$的$n$次方根**

• Note:$n$次方根是$n$为正整数的范围内讨论的

• 求$a$的$n$次方根,称为"把$a$开$n$次方",称为开方运算

• 为了把$a$的$n$次方根$x$表示为形如$x=f(a)$的形式,引入记号$\sqrt[n]{a}$,

  • 当$a>0$且$n$为偶数时,$\sqrt[n]{a}$表示的是$a$的两个$n$次方根中的正根
    • 所以正数的偶次方根(共2个)使用该符号的算式表示为$\sqrt[n]{a}$,$-\sqrt[n]{a}$
  • 当$a<0$时,其只有奇次方根,表示为$\sqrt[n]{a}$
  • $n$为奇数时,$a$的$n$次方根只有一个,也记为$\sqrt[n]{a}$

• 总之$\sqrt[n]{a}$表示的是$a$的唯一奇数次方根或者两个互为相反数的偶次方根中的正根(非负根),具体要视$a,n$的取值而定

  • 例如$\sqrt[n]{a^n}$,若$n$是偶数,则$a^n⩾0$,$b=\sqrt[n]{a^n}$是$a^n$的$n$次方根中的非负根
    • $b^n=a^n$,任意$|b|=|a|$都满足该等式
    • 因为$b⩾0$,所以$b=|a|$,即$\sqrt[n]{a^n}=|a|$($n$为偶数)
    • 例如:$\sqrt[2]{(-3{)}^2}=|-3|=3$
  • 同样是$b=\sqrt[n]{a^n}$,若$n$为奇数,$a,a^n,b$同号,由$n$次方根的定义,仍有$b^n=a^n$,从而$b=a$($n$为奇数)

n次方根的表示

任意数可以开奇次方,但不是任意数都可以开偶次方

1. 偶次方根:正数可以开偶次方根
   • 正数$a$的偶次方根有2个互为相反数的根,它们分别表示为$\sqrt[n]{a}$,$-\sqrt[n]{a}$,($a$为偶数)
   • 负数$a$的偶次方根没有意义(没有实根,但是在复数范围内有意义)
2. 奇次方根:任何实数可以开奇次方根
   • $\forall a\in \mathbb{R}$与其唯一的奇次方根$\sqrt[n]{a}$同号,即$a\sqrt[n]{a}⩾0$,($n$为奇数)

根式@根指数

• 当$\sqrt[n]{a}$有意义时,$\sqrt[n]{a}$j叫做根式,其中$n$为根式的指数,称为根指数
• 例如,$\sqrt{2}$,$\sqrt[3]{5}$,$\sqrt[3]{-2}$,它们都有意义,都是根式

算术根

• 正数$a$的正$n$次方根(大于0的那个$n$次方根)叫做**$a$的$n$次算术根**
• 任意正数的奇次方根都是正数和偶次方根也恰好有一个正数,所以任意正数$a$总是存在任意次算术根
• 任意负数的奇次方根是负数,偶次方根无意义,所以负数不存在任意次算术根
• 例如$a=5$的$2$次算术根为$\sqrt{5}$,而平方根有$-\sqrt{5},\sqrt{5}$两个,$a=5$的$3$次算术根为$\sqrt[3]{5}$,立方根也是仅有$\sqrt[3]{5}$
  • $a=0,a=-2$是都不是正数,因此它们不存在任何次算术平方根

几个"总是"

• 任意数的奇次方根总是有意义的
• 正数的任意次方根总是存在(偶次方根和奇次方根都存在)

根式性质

• 根据$n$次方根的定义,有
  • $(\sqrt[n]{a}{)}^n=a$,$(n>1,n\in {\mathbb{N}}_{+})$
  • $\sqrt[n]{a^n}$=$\{\begin{array}{ll}a& n为奇数\\ |a|& n为偶数\end{array}$

分数指数幂

既约分数

• 本节讨论的分数是既约分数,即最简分数,
• 例如$\frac{4}{3}$是既约分数,而$\frac{8}{6}$不是既约的

正分数指数幂

• 我们借助$n$次方根来规定和定义正分数指数幂
• 若约定$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$,$(a>0,n\in {\mathbb{N}}_{+})$
  • $a^{\frac{m}{n}}$=$(\sqrt[n]{a}{)}^m$=$\sqrt[n]{a^m}$,$(a>0,n,m\in {\mathbb{N}}_{+},\frac{m}{n}是既约分数)$

负分数指数幂

• 和负整数指数幂的意义相同,同样可以规定
  • $a^{-\frac{m}{n}}$=$\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$,$(a>0,m,n\in {\mathbb{N}}_{+})$,$\frac{m}{n}是既约分数$

判定一个分数指数幂是否有意义

• $a=(-2{)}^{\frac{4}{3}}$=$\sqrt[3]{(-2{)}^4}$,而$b=(-2{)}^{\frac{8}{6}}$=$\sqrt[6]{(-2{)}^8}$,显然$a=b$
• 第一个式子$a$我们只需要看到分数指数$\frac{4}{3}$中分母为奇数$3$,就可以断言$a$一定有意义
• 第二个式子$b$,其分数指数$\frac{8}{6}$的分子式偶数,那么也可以确定$b$必定有意义
• 总之,$a<0$;分子$m$,为奇数,分母$n$为偶数,则$a^{\frac{m}{n}}$无意义
  • 其中分母$n$和偶次方根挂钩,负数的偶次方根无意义
  • 分子$m$若为偶数,那么$a^n$非负,其任意次方根均有意义
  • $a$本身若非负,那么$a^n$非负,则$a^{\frac{m}{n}}$相当于非负数的方根,其任意次方根均有意义

小结@有理指数幂

• 上述讨论中,我们从正整数指数幂一路推广到分数指数幂(有理指数幂)

• 设$a,b>0$,$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{Q}$,有理数指数幂有运算法则:

  1. $a^{\alpha }{\alpha }^{\beta }$=$a^{\alpha +\beta }$
  2. $(a^{\alpha }{)}^{\beta }$=$a^{\alpha \beta }$
  3. $(ab{)}^{\alpha }=a^{\alpha }{b}^{\alpha }$

• 其中性质2是幂的幂的性质,性质3体现了指数运算对乘运算的分配律

无理数指数幂和实数指数幂

• 无理数指数幂$a^n$,$n\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}$,其中$\mathbb{R}-\mathbb{Q}$表似乎无理数集合
• 设$n_1,n_2$分别是$n$的有理不足近似和过剩近似,并将$n$的任意一个不足近似记为$p_n$,任意一个过剩近似值记为$q_n$
• 当$p_n,q_n$越来越接近$n$时$a^{p_n},a^{q_n}$也就越$a^n$
• 即,我们可以用两个有理数幂的序列 { a p n } , { a q n } \set{a^{p_n}},\set{a^{q_n}} {apn​},{aqn​}无限逼近$a^n$
• 综上,一般的,$a>0,\forall \alpha \in \mathbb{R}$,实指数幂$a^{\alpha }$就都有意义了,即正数的实指数幂都有意义
• 有理指数幂的运算法则也适用于无理数指数幂,即对实指数幂都适用

其他定义实指数的方法

• 方式1:因为所有实数可以近似地表示为有理数，任意实数指数x可以定义成：$b^x={\lim }_{r\to x}{b}^r,$
  例如：$x\approx 1.732$于是$5^x\approx 5^{1.732}=5^{\frac{433}{250}}=\sqrt[250]{5^{433}}\approx 16.241$
• 方式2:实数指数幂通常使用对数来定义，而不是近似有理数。
  • 自然对数$\ln x$是指数函数$e^x$的反函数。 它的定义是：对于任意$b>0$，满足$b=e^{\ln b}$
  • 根据对数和指数运算的规则：$b^x=(e^{\ln b}{)}^x=e^{x\cdot \ln b}$
  • 这就是实数指数幂的定义：$b^x=e^{x\cdot \ln b}$
  • 实数指数幂$b^x$的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数，这种定义更加常用。

特别的幂

• 0的正实指数幂为0;
• $0$的负整数次幂无意义
• $0$的0次幂可以定义为1,一种极限的看法:$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x=0^0$

1的幂🎈

• 1的任何次幂都为1。

0的幂

• 0的正数幂都等于0。
• 0的负数幂没有定义。因为$0^{-n}=\frac{1}{0^n},n\in {\mathbb{R}}^{+}$,这遇到了0作为除数的问题,因而未定义0的负指数幂
• 任何非0之数的0次方都是1；
• 而0的0次方是悬而未决的，
  • 某些领域下常用的惯例是约定为1。
  • 但某些教科书表示0的0次方为无意义。
  • 也有人主张定义为1。

负1的幂

• -1的奇数幂等于-1
• -1的偶数幂等于1

幂的补充资料

• 来源是wikipedia,部分内容和前面章节重复

• 在数学中，重复连乘的运算叫做乘方，乘方的结果称为 幂[1]（英语：mathematical power，power）；由此，若 $n$ 为正整数，$n$ 个相同的数 $b$ 连续相乘（即 $b$ 自乘 $n$ 次），就可将 $b^n$ 看作乘方的结果 ——“幂”。

• $b^n=\underset{n}{\underbrace{b\times \cdots \times b}}$

• 幂运算（exponentiation）又称指数运算、取幂，是数学运算，表达式为 $b^n$，读作“$b$ 的 $n$ 次方”或“$b$ 的 $n$ 次幂”。

• 其中，$b$ 称为底数，而 $n$ 称为指数，通常指数写成上标，放在底数的右边。

• 当不能用上标时，例如在编程语言或电子邮件中，$b^n$ 通常写成 b^n 或 b**n；也可视为超运算，记为 b[3]n；亦可以用高德纳箭号表示法，写成 b↑n。

• 当指数为 1 时，通常不写出来，因为运算出的值和底数的数值一样；

• 指数为 2 时，可以读作“$b$ 的平方”；

• 指数为 3 时，可以读作“$b$ 的立方”。

• 由于在十进制中，10的幂很容易计算，只需在后面加零即可，所以科学记数法借此简化记录的数字；2的幂则在计算机科学中相当重要。

• 起始值 1（乘法的单位元）乘上底数（$b$）自乘指数（$n$）这么多次。这样定义了后，很易想到如何一般化指数 0 和负数的情况：

  • 指数是零时，底数不为零，幂均为一（即除 0 外，所有数的 0 次方都是 1 ）；
  • 指数是负数时，就等于重复除以底数（或底数的倒数自乘指数这么多次），即：
  • $b^0=1(b\ne 0)$
  • $b^{-n}=\frac{1}{\underset{n}{\underbrace{b\times \cdots \times b}}}=\frac{1}{b^n}={\left(\frac{1}{b}\right)}^n(b\ne 0)$。

• 若以分数为指数的幂，则定义：

  • $b^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{b^n}$，
  • 即 $b$ 的 $n$ 次方再开 $m$ 次方根。

• 0的0次方（$0^0$）目前没有数学家给予正式的定义；

  • 在部分数学领域中，如组合数学，常用的惯例是定义为 1 ，也有人主张定义为 1 。
  • 此外，当 $n$ 是复数，且 $b$ 是正实数时，$b^n=\exp (n\ln (b))$
  • exp 是指数函数，而 ln 是自然对数。

运算法则🎈

1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：
   • $a^m\times a^n=a^{m+n}$
2. 同底数幂相除，底数不变，指数相减：
   • $a^m÷a^n=a^{m-n}$
3. 同指数幂相除，指数不变，底数相除($b$不为0)：
   • $\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$

指数函数

• 一般地,函数$y=a^x$,$a>0,a\ne 1,x\in \mathbb{R}$
• 解析式中$a$是非1的正数,不讨论负数
• 幂$a^x$的底数为负数时,自变量$x$的定义域将不连续

基本性质

• 定义域$D_f$=$\mathbb{R}$,且$\forall x\in \mathbb{R},y>0$,值域是$(0,+\infty )$
• 函数图象在$x$轴上且总是过$(0,1)$,因为$a^0=1$
• 当$a>1$这个函数是增函数,当$0<a<1$时,函数是减函数