扩展欧几里得

扩展欧几里得算法

求 $ax+by=d$ 的一组解，$d=\gcd (a,b)$。

辗转相除递归求解。

假设已经求出 $bx+(b\mathrm{mod}a)y=d$ 的一组解。

$$\begin{gathered} ax+by=b{x}^{\prime }+(b\mathrm{mod}a)y^{\prime } \\ =b{x}^{\prime }+(b-b\times \lfloor \frac{a}{b}\rfloor )y^{\prime } \\ =a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y^{\prime }) \end{gathered}$$

则 $x=y^{\prime },y=x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y^{\prime }$。递归计算即可。$b=0$ 时，由辗转相除得 $a=d$，则 $x=1,y=0$ 显然是一组解。

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if(b == 0) return x = 1, y = 0, void();exgcd(b, b%a, y, x), y -= (a / b) * x;
}

扩欧求逆元

求 $a$ 在模 $p$ 下得逆元，等价于求 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，等价于 $ax+py\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。$\gcd (a,p)=1$ 时才有解，即 $a$ 有逆元。

裴属定理

我们对问题加以扩展，求解 $ax+by=c$。

裴属定理：方程有解当且仅当 $\gcd (a,b)\mid c$。

若方程有解，则用扩欧求出 $ax+by=d$ 对一组特解后乘以 $\frac{c}{d}$ 即可（由裴属定理得 $\frac{c}{d}$ 为整数）。

再找出特解后，加上 $ax+by=0$ 的解即可得到该不定方程的通解。