想要精通算法和SQL的成长之路 - 并查集的运用和案例（省份数量）

前言

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一. 并查集的使用和模板

先说一下并查集的相关知识点：

• 含义：并查集，用于维护一组不相交的集合，支持合并两个集合和查询某个元素所属的集合。
• 用途：解决图论、连通性问题和动态连通性等问题。

通俗一点，可以使用并查集的算法题目有哪些特征？

• 需要将n个不同的元素划分为不相交的集合。
• 开始的时候，每个元素自行成为一个集合，然后需要根据一定的顺序进行 合并。
• 同时还需要 查询 某个元素是否属于哪个集合。

因此并查集的基本操作可以包含两个：

• 合并：将两个不相交的集合合并成一个集合。（将其中一个集合的根节点连接到另一个集合的根节点上）
• 查找：根据某个元素，寻找到它所在集合的根节点。

1.1 初始化

首先我们考虑下，并查集里面需要有哪些数据结构：

• 需要一个parent[]数组，用来存储每个元素对应的根节点。
• 再来一个rank[]数组，代表以每个元素作为根节点，其所在集合的大小。即代表某个集合的深度。
• 再来一个sum字段，代表当前的集合个数。

public class UnionFind {/*** 表示节点i的父节点*/private int[] parent;/*** 表示以节点i为根节点的子树的深度，初始时每个节点的深度都为0*/private int[] rank;private int sum;public UnionFind(int n) {parent = new int[n];rank = new int[n];// 初始时每个节点的父节点都是它自己for (int i = 0; i < n; i++) {parent[i] = i;}sum = n;}
}

1.2 find 查找函数

特征：

• 入参：元素x。
• 要做的事情：不断地向上递归寻找这个x的根节点。
• 递归终止条件：找到根节点。（根节点和元素本身一致）

代码如下：

public int find(int x) {while (x != parent[x]) {x = parent[x];}return x;
}

1.3 union 合并集合

特征：

• 入参：元素x和y。
• 要做的事情：分别找到这两个元素的根节点：rootX和rootY。
• 如果俩元素的根节点是同一个，说明他们在一个集合当中，不需要任何操作。
• 倘若两个元素的根节点不一样，根据两个集合的深度来判断。将深度小的那个集合，合并到深度大的集合中。同时更新对应的根节点和深度大小。

除此之外，我们还可以写一个简单的函数，用来判断两个元素是否处于同一个集合当中（或者是是否相连）

public void union(int x, int y) {int rootX = find(x);int rootY = find(y);// 如果两个元素的根节点一致，不需要合并if (rootX == rootY) {return;}// 如果根节点 rootX 的深度 > rootY。if (rank[rootX] > rank[rootY]) {// 那么将以rootY作为根节点的集合加入到rootX对应的集合当中rank[rootX] += rank[rootY];// 同时改变rootY的根节点，指向rootX。parent[rootY] = rootX;} else {// 反之rank[rootY] += rank[rootX];parent[rootX] = rootY;}
}

1.4 connected 判断相连性

/*** 判断两个节点是否在同一个集合中
*/
public boolean connected(int x, int y) {return find(x) == find(y);
}

1.5 完整代码

/*** @author Zong0915* @date 2023/10/4 下午2:52*/
public class UnionFind {/*** 表示节点i的父节点*/private int[] parent;/*** 表示以节点i为根节点的子树的深度，初始时每个节点的深度都为0*/private int[] rank;private int sum;public UnionFind(int n) {parent = new int[n];rank = new int[n];// 初始时每个节点的父节点都是它自己for (int i = 0; i < n; i++) {parent[i] = i;}sum = n;}public int find(int x) {while (x != parent[x]) {x = parent[x];}return x;}public void union(int x, int y) {int rootX = find(x);int rootY = find(y);// 如果两个元素的根节点一致，不需要合并if (rootX == rootY) {return;}// 如果根节点 rootX 的深度 > rootY。if (rank[rootX] > rank[rootY]) {// 那么将以rootY作为根节点的集合加入到rootX对应的集合当中rank[rootX] += rank[rootY];// 同时改变rootY的根节点，指向rootX。parent[rootY] = rootX;} else {// 反之rank[rootY] += rank[rootX];parent[rootX] = rootY;}}/*** 判断两个节点是否在同一个集合中*/public boolean connected(int x, int y) {return find(x) == find(y);}
}

二. 运用案例 - 省份数量

原题链接

我们在并查集模板的基础上进行改造：

class UnionFind {private int[] rank;// 每个省份具有的城市数量private int[] parent;// 每个城市对应的根节点（省份）private int sum;// 省份的数量public UnionFind(int[][] isConnected) {int len = isConnected.length;// 初始化，省份数量和提供的城市数量一致sum = len;// 每个集合具有的城市数量为1rank = new int[len];parent = new int[len];Arrays.fill(rank, 1);// 根节点指向自己for (int i = 0; i < len; i++) {parent[i] = i;}}public int find(int x) {while (x != parent[x]) {x = parent[x];}return x;}public void union(int x, int y) {int rootX = find(x);int rootY = find(y);// 如果两个元素的根节点一致，不需要合并if (rootX == rootY) {return;}// 如果根节点 rootX 的深度 > rootY。if (rank[rootX] > rank[rootY]) {// 那么将以rootY作为根节点的集合加入到rootX对应的集合当中rank[rootX] += rank[rootY];// 同时改变rootY的根节点，指向rootX。parent[rootY] = rootX;} else {// 反之rank[rootY] += rank[rootX];parent[rootX] = rootY;}// 合并成功，那么总集合数量要减1sum--;}
}

不过本题目当中，对于rank这个属性没有什么作用，最终看的是sum属性。因此大家可以把这个属性相关的给去除。

最后来看代码部分：

public int findCircleNum(int[][] isConnected) {// 初始化构造UnionFind unionFind = new UnionFind(isConnected);int len1 = isConnected.length;int len2 = isConnected[0].length;for (int i = 0; i < len1; i++) {for (int j = 0; j < len2; j++) {// 如果是相连的，那么将城市 i 和 j 合并if (isConnected[i][j] == 1) {unionFind.union(i, j);}}}// 最后返回集合个数（即省份的个数）return unionFind.sum;
}

最终代码如下：

public class Test547 {public int findCircleNum(int[][] isConnected) {UnionFind unionFind = new UnionFind(isConnected);int len1 = isConnected.length;int len2 = isConnected[0].length;for (int i = 0; i < len1; i++) {for (int j = 0; j < len2; j++) {// 如果是相连的，那么将城市 i 和 j 合并if (isConnected[i][j] == 1) {unionFind.union(i, j);}}}return unionFind.sum;}class UnionFind {private int[] rank;// 每个省份具有的城市数量private int[] parent;// 每个城市对应的根节点（省份）private int sum;// 省份的数量public UnionFind(int[][] isConnected) {int len = isConnected.length;// 初始化，省份数量和提供的城市数量一致sum = len;// 每个集合具有的城市数量为1rank = new int[len];parent = new int[len];Arrays.fill(rank, 1);// 根节点指向自己for (int i = 0; i < len; i++) {parent[i] = i;}}public int find(int x) {while (x != parent[x]) {x = parent[x];}return x;}public void union(int x, int y) {int rootX = find(x);int rootY = find(y);// 如果两个元素的根节点一致，不需要合并if (rootX == rootY) {return;}// 如果根节点 rootX 的深度 > rootY。if (rank[rootX] > rank[rootY]) {// 那么将以rootY作为根节点的集合加入到rootX对应的集合当中rank[rootX] += rank[rootY];// 同时改变rootY的根节点，指向rootX。parent[rootY] = rootX;} else {// 反之rank[rootY] += rank[rootX];parent[rootX] = rootY;}sum--;}}
}