【考研数学】高等数学第七模块 —— 曲线积分与曲面积分 | 4. 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)与场论初步
文章目录
- 二、曲面积分
- 2.2 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)
- 1. 问题产生 —— 流量
- 2. 对坐标的曲面积分的定义(了解)
- 3. 对坐标的曲面积分的性质
- 4. 对坐标的曲面积分的计算法
- (1) 二重积分法
- (2)高斯公式
- 5. 两类曲面积分之间的关系
- 三、场论初步
- 3.1 梯度、旋度、散度
- 3.2 通量与环流量
- 写在最后
二、曲面积分
2.2 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)
1. 问题产生 —— 流量
设 Σ \varSigma Σ 为有侧曲面,流体的流速为 v → = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) } \overrightarrow{v}=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\} v={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)} ,单位时间内流过指定侧的曲面的流量 Φ \varPhi Φ 的计算思路(元素法)如下:
(1)任取 d S → = { d y d z , d z d x , d x d y } ⊂ Σ d\overrightarrow{S}=\{dydz,dzdx,dxdy\}\sub \varSigma dS={dydz,dzdx,dxdy}⊂Σ ;
(2) d Φ = v → ⋅ d S → = P ( x , y , z ) d y d z + Q ( x , y , z ) d z d x + R ( x , y , z ) d x d y d\varPhi=\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S}=P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy dΦ=v⋅dS=P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy ;
(3) Φ = ∬ Σ d Φ = ∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z + Q ( x , y , z ) d z d x + R ( x , y , z ) d x d y \varPhi=\iint_{\varSigma}d\varPhi=\iint_{\varSigma}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy Φ=∬ΣdΦ=∬ΣP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy 。
2. 对坐标的曲面积分的定义(了解)
3. 对坐标的曲面积分的性质
这里说明几点特殊的,积分区域 Σ \varSigma Σ 是有方向的,不同方向得到的积分结果互为相反数;对坐标的曲面积分也具有对称性,不过若关于 x O y xOy xOy 面(变量 z z z ),只需要判断 R ( x , y , z ) R(x,y,z) R(x,y,z) 关于 z z z 的奇偶性。需要注意的是,如果是奇函数,结果是两倍,偶函数才为零,这和前面是截然相反的!
4. 对坐标的曲面积分的计算法
(1) 二重积分法
对 ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y \iint_\varSigma R(x,y,z)dxdy ∬ΣR(x,y,z)dxdy 的计算:设 Σ : z = u ( x , y ) \varSigma:z=u(x,y) Σ:z=u(x,y) ,其中 ( x , y ) ∈ D x y (x,y)\in D_{xy} (x,y)∈Dxy ,则 ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y = ± ∬ Σ R ( x , y , u ( x , y ) ) d x d y . \iint_{\varSigma} R(x,y,z)dxdy=\pm\iint_{\varSigma} R(x,y,u(x,y))dxdy. ∬ΣR(x,y,z)dxdy=±∬ΣR(x,y,u(x,y))dxdy. 其中,若 Σ \varSigma Σ 上一点的正侧法向量与 z z z 轴的夹角为锐角,结果取正,否则取负。
其余两个情形可同理进行计算。
【例】设 Σ : ( x − 1 ) 2 + y 2 + z 2 = 1 \varSigma:(x-1)^2+y^2+z^2=1 Σ:(x−1)2+y2+z2=1 ,取外侧,计算 ∬ Σ y 2 z d x d y \iint_{\varSigma}y^2z\space dxdy ∬Σy2z dxdy 。
解: 易知, Σ \varSigma Σ 表示的是一个球面,关于 x O y xOy xOy 面对称,设上半球面为 Σ 1 \varSigma_1 Σ1 ,有 ∬ Σ y 2 z d x d y = 2 ∬ Σ 1 y 2 z d x d y , \iint_{\varSigma}y^2z\space dxdy=2\iint_{\varSigma_1}y^2z\space dxdy, ∬Σy2z dxdy=2∬Σ1y2z dxdy, 令 Σ 1 : z = 1 − ( x − 1 ) 2 − y 2 , ( x , y ) ∈ D x y , D x y : ( x − 1 ) 2 + y 2 ≤ 1 \varSigma_1:z=\sqrt{1-(x-1)^2-y^2},(x,y)\in D_{xy},D_{xy}:(x-1)^2+y^2\leq1 Σ1:z=1−(x−1)2−y2,(x,y)∈Dxy,Dxy:(x−1)2+y2≤1 ,则 ∬ Σ y 2 z d x d y = 2 ∬ D x y y 2 1 − ( x − 1 ) 2 − y 2 d x d y , \iint_{\varSigma}y^2z\space dxdy=2\iint_{D_{xy}}y^2\sqrt{1-(x-1)^2-y^2}dxdy, ∬Σy2z dxdy=2∬Dxyy21−(x−1)2−y2dxdy, 令 x = 1 + r cos θ , y = r sin θ , θ ∈ [ 0 , 2 π ] , r ∈ [ 0 , 1 ] x=1+r\cos\theta,y=r\sin\theta,\theta\in[0,2\pi],r\in[0,1] x=1+rcosθ,y=rsinθ,θ∈[0,2π],r∈[0,1] ,有 2 ∬ D x y y 2 1 − ( x − 1 ) 2 − y 2 d x d y = 2 ∫ 0 2 π sin 2 θ d θ ∫ 0 1 r 3 1 − r 2 d r = 4 π 15 . 2\iint_{D_{xy}}y^2\sqrt{1-(x-1)^2-y^2}dxdy=2\int_0^{2\pi}\sin^2\theta d\theta\int_0^1r^3\sqrt{1-r^2}dr=\frac{4\pi}{15}. 2∬Dxyy21−(x−1)2−y2dxdy=2∫02πsin2θdθ∫01r31−r2dr=154π.
(2)高斯公式
定理 —— 设 Ω \Omega Ω 为几何体, Σ \varSigma Σ 为 Ω \Omega Ω 的外侧曲面, P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 在 Ω \Omega Ω 上一阶连续可偏导,则 ∯ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∭ Ω ( ∂ P / ∂ x + ∂ Q / ∂ y + ∂ R / ∂ z ) d v . \oiint_{\varSigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint_{\Omega}(\partial P/\partial x+\partial Q/\partial y+\partial R/\partial z)dv. ∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭Ω(∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z)dv.
【例】计算 ∯ Σ x z 2 d y d z + ( x 2 y − z 3 ) d z d x + ( 2 x y + y 2 z ) d x d y \oiint_{\varSigma}xz^2dydz+(x^2y-z^3)dzdx+(2xy+y^2z)dxdy ∬Σxz2dydz+(x2y−z3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy ,其中 Σ \varSigma Σ 为 z = 1 − x 2 − y 2 z=\sqrt{1-x^2-y^2} z=1−x2−y2 和 z = 0 z=0 z=0 所围区域表面外侧,如下图所示。
解: 由高斯公式可知: ∯ Σ x z 2 d y d z + ( x 2 y − z 3 ) d z d x + ( 2 x y + y 2 z ) d x d y = ∭ Ω ( z 2 + x 2 + y 2 ) d v = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π / 2 d φ ∫ 0 1 r 2 r 2 sin φ d r = 2 π / 5. \oiint_{\varSigma}xz^2dydz+(x^2y-z^3)dzdx+(2xy+y^2z)dxdy=\iiint_{\Omega}(z^2+x^2+y^2)dv=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi/2}d\varphi\int_0^1r^2r^2\sin\varphi dr=2\pi/5. ∬Σxz2dydz+(x2y−z3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy=∭Ω(z2+x2+y2)dv=∫02πdθ∫0π/2dφ∫01r2r2sinφdr=2π/5.
5. 两类曲面积分之间的关系
∯ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∬ Σ ( P c o s α + Q cos β + R cos γ ) d S . \oiint_{\varSigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iint_{\varSigma}(Pcos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS. ∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬Σ(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS. 其中, cos α , cos β , cos γ \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma cosα,cosβ,cosγ 为曲面 Σ \varSigma Σ 正侧法向量的方向余弦。
【例】设 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) 为连续函数, Σ \varSigma Σ 为平面 x − y + z − 1 = 0 x-y+z-1=0 x−y+z−1=0 在第四卦限部分的上侧,计算 ∬ Σ [ f ( x , y , z ) + x ] d y d z + [ 2 f ( x , y , z ) + y ] d z d x + [ f ( x , y , z ) + z ] d x d y . \iint_{\varSigma}[f(x,y,z)+x]dydz+[2f(x,y,z)+y]dzdx+[f(x,y,z)+z]dxdy. ∬Σ[f(x,y,z)+x]dydz+[2f(x,y,z)+y]dzdx+[f(x,y,z)+z]dxdy. 解: 平面 Σ \varSigma Σ 如下图所示:
曲面 Σ \varSigma Σ 的法向量为 { 1 , − 1 , 1 } \{1,-1,1\} {1,−1,1} ,对应的方向余弦为 cos α = 1 / 3 , cos β = − 1 / 3 , cos γ = 1 / 3 \cos\alpha=1/\sqrt{3},\cos\beta=-1/\sqrt{3},\cos\gamma=1/\sqrt{3} cosα=1/3,cosβ=−1/3,cosγ=1/3 ,则原积分可化为 ∬ Σ { [ f ( x , y , z ) + x ] / 3 − [ 2 f ( x , y , z ) + y ] / 3 + [ f ( x , y , z ) + z ] / 3 } d S . \iint_{\varSigma}\{[f(x,y,z)+x]/\sqrt{3}-[2f(x,y,z)+y]/\sqrt{3}+[f(x,y,z)+z]/\sqrt{3}\}dS. ∬Σ{[f(x,y,z)+x]/3−[2f(x,y,z)+y]/3+[f(x,y,z)+z]/3}dS. 即 ∬ Σ ( x + z − y ) / 3 d S = S / 3 = ( 1 / 2 × 2 × 2 × 3 / 2 ) / 3 = 1 / 2. \iint_{\varSigma}(x+z-y)/\sqrt{3}dS=S/\sqrt{3}=(1/2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}/2)/\sqrt{3}=1/2. ∬Σ(x+z−y)/3dS=S/3=(1/2×2×2×3/2)/3=1/2.
三、场论初步
3.1 梯度、旋度、散度
设 u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u=f(x,y,z) 可偏导,则 u u u 的梯度为 g r a d u = { ∂ f / ∂ x , ∂ f / ∂ y , ∂ f / ∂ z } \pmb{grad}\space u=\{\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z\} grad u={∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z} 。这个我们之前接触过,是函数在某点处增长最快的方向。
设向量场 A → = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) } \overrightarrow{A}=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\} A={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)} ,则 A → \overrightarrow{A} A 的旋度为 r o t A → = ∣ i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ . \pmb{rot}\space\overrightarrow{A}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R\end{vmatrix}. rot A= i∂x∂Pj∂y∂Qk∂z∂R . 设向量场 A → = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) } \overrightarrow{A}=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\} A={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)} ,则 A → \overrightarrow{A} A 的散度为 d i v A → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z . div\space \overrightarrow{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}. div A=∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R.
应该只会考梯度吧,我看其他两个连例题都没有。
3.2 通量与环流量
1. 通量
设 A → ( x , y , z ) = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) } \overrightarrow{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\} A(x,y,z)={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)} 为向量场,其中 P , Q , R P,Q,R P,Q,R 连续可偏导, Σ \varSigma Σ 为有侧曲面,称 Φ = ∬ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∬ Σ A → ⋅ n → d S \varPhi=\iint_{\varSigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iint_{\varSigma}\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{n}dS Φ=∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬ΣA⋅ndS 为向量场 A → \overrightarrow{A} A 指向指定侧的流过有侧曲面 Σ \varSigma Σ 的通量(或流量),其中 n → \overrightarrow{n} n 为曲面 Σ \varSigma Σ 的正侧单位法向量。
好像这个就是两类曲面积分之间的关系 O.O
2. 环流量
设 A → ( x , y , z ) = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) } \overrightarrow{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\} A(x,y,z)={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)} 为向量场,其中 P , Q , R P,Q,R P,Q,R 连续可偏导, L L L 为有向闭曲线,称 ∮ L P d x + Q d y + R d z = ∮ L A → ⋅ d s → . \oint_LPdx+Qdy+Rdz=\oint_L\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{s}. ∮LPdx+Qdy+Rdz=∮LA⋅ds. 为向量场 A → ( x , y , z ) \overrightarrow{A}(x,y,z) A(x,y,z) 沿有向闭曲线 L L L 的环流量。
写在最后
曲面积分的学习是痛苦的,当然主要还是因为前面的二重、三重、空间解析几何不扎实,不过也顺利处理掉了。
那高等数学理论部分到此就全部结束了,一个漫长的过程,也是三门中分值最大的一部分。剩下的时间里就好好对它进行总结和实践吧。
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