数字三角形加强版题解（组合计数+快速幂+逆元）

Description

一个无限行的数字三角形，第 i 行有 i 个数。第一行的第一个数是 1 ，其他的数满足如下关系：如果用 F[i][j] 表示第 i 行的第 j 个数，那么 F[i][j]=A∗F[i−1][j]+B∗F[i−1][j−1] （不合法的下标的数为 0 ）。
当 A=2,B=3 时的数字三角形的前 5 行为：
1
2 3
4 12 9
8 36 54 27
16 96 216 216 81现在有 T 次询问，求 A=a,B=b 时数字三角形的第 n 行第 m 个数的值模 10^9+9 的结果。

Input

第一行为一个整数 T 。
接下一共 T 行，每行四个整数 a,b,n,m

Output

一共 T 行，每行一个整数，表示那个位置上的数的值。

Sample Input

2
2 3 3 3
3 1 4 1

Sample Output

9
27

Hint

n,t<=1e5;1<=m<=n; 0<=a,b<=1e9;

思路：

看例子：

1

A B

A^2 2*A*B B^2

A^3 3*A^2*B 3*A*B^2 B^3

我们可以看出答案是：

对于,分母我们利用费马小定理求逆元。

代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<unordered_map>
#include<map>
using namespace std;
#define LL  long long
const long long  mod = 1e9 + 9;
const int N = 1e5 + 100;
LL xia[N];
LL quick(LL a, LL b, LL p)//根据a^(p-1)%p=1求a的逆元a^(p-2)%p；
{
    LL res = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) res = (res * a) % p;
        b >>= 1;
        a = (a * a) % p;
    }
    return res;
}
LL seek(LL x, LL y)
{
    LL e = 1;
    while (y)
    {
        if (y & 1)
            e = e * x % mod;
        x = x * x % mod;
        y = y >> 1;
    }
    return e;
}
int main()
{
    int T;
    LL a, b, n, m;
    xia[0] = 1;
    for (int i = 1; i <=1e5; i++)
        xia[i] = (xia[i-1] * i) % mod;
    scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {
        LL ans = 1;
        scanf("%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &n, &m);
        ans = (ans*seek(a, n - m))%mod;
        ans = (ans*seek(b, m-1))%mod;
        ans = (ans * xia[n-1]) % mod;
            ans = (ans * quick(xia[m-1], mod - 2, mod)) % mod;
            ans= (ans * quick(xia[n-m], mod - 2, mod)) % mod;
            printf("%lld\n",(ans % mod + mod) % mod);
    }
    return 0;
}