AM@邻域@极限定义中的符号说明

abstract

• 邻域的概念
• 极限的定义中的符号说明

邻域👺

• 设$x_0\in \mathbb{R},\delta >0$,开区间$R_{\delta }=(x_0-\delta ,x_0+\delta )$称为**$x_0$的$\delta$ 邻域**,记作$U(x_0,\delta )$或$U_{\delta }(x_0)$
  • 区间$R_{\delta }$也可以表示为绝对值不等式:$|x-x_0|<\delta$的解集: { x ∣ ∣ x − x 0 ∣ < δ } \set{x||x-x_0|<\delta} {x∣∣x−x0​∣<δ}
  • 因为$|x-x_0|<\delta$ $\iff$ $-\delta <x-x_0<\delta$ $\iff$ $x_0-\delta <x<x_0+\delta$
  • 如果不需要说明$\delta$,可简记为$U(x_0)$

邻域中心和半径

• $x_0$为邻域$U(x_0,\delta )$的中心,称为邻域中心,$\delta$称为邻域半径

去心邻域

• 点$x_0$的去心$\delta$邻域,$R_{\mathring{\delta }}$=$(x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$记作$\mathring{U}(x_0,\delta )$,或${\mathring{U}}_{\delta }(x_0)$
  • 区间$R_{\mathring{\delta }}$也可以表示为: { x ∣ 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ } \set{x|0<|x-x_0|<\delta} {x∣0<∣x−x0​∣<δ}
  • 如不需要说明$\delta$,可简记为$\mathring{U}(x_0)$

$ϵ,\delta$的意义

• $ϵ$是用来刻画$f(x)$与$A$的接近程度(刻画函数值)
• $\delta$是用来刻画$x\to x_0$这个极限过程(刻画自变量)
  • $x\to x_0$但$x\ne x_0$
  • 极限$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$是否存在,若存在极限,极限值等于多少
    • 和"$x=x_0$处有没有定义,若有定义函数值等于多少"无关
    • 和$x=x_0$的去心邻域$\mathring{U}(x_0,\delta )$函数值有关
  • 要使$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在,$f(x)$必须在$x=x_0$的某去心领域$\mathring{U}(x_0,\delta )$处处有定义

各种极限定义的共同点

• 无论是数列极限还是函数极限,都用了正数$ϵ$来刻画极限存在的形式
• 当$ϵ$可以任意取(足够小)的时候,才能够体现极限的意义(它刻画了数列在靠近极限的过程的与极限的接近程度),因此定义中总是强调任意的正数$ϵ$($\forall ϵ>0$)

几何意义

• 对任意给定的$ϵ>0$,总存在$\mathring{U}(x_0,\delta )$,当$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$时,曲线$y=f(x)$夹在两直线$y=A-ϵ$,和$y=A+ϵ$之间

极限定义中的极限过程临界值

• 根据上述极限的定义,数列极限中的$N$,函数极限中的$X$或$\delta$,都是给定$ϵ$后,构造极限过程的区间(例如$n>N,x>X,0<|x-a|<\delta$)的参数,不妨称之为极限过程临界值
• $X$(或$N$)和预先给定的$ϵ(ϵ>0)$有关,但是$X$并不是$ϵ$的函数

  • 因为同一个$ϵ$可以对应多个(甚至无穷多个)符合条件的$X$

  • 若$X=X_1$满足$x>X$时$f(x)\in U(A,ϵ)$,则$X=X_2(X_2>X_1)$也满足

$ϵ$的选取👺

• 若$\underset{x\to \ast }{\lim }f(x)=A$,则$\forall ϵ>0$,$\exists \delta >0$,当$x\in \mathring{U(x_0,\delta )}$时,$|f(x)-A|<ϵ$
• 在实际应用极限定义作推理的时候,经常时以如下形式出现:
  • $\forall ϵ=\theta (c)>0$,$\exists \delta >0$,当$x\in \mathring{U(x_0,\delta )}$时,$|f(x)-A|<ϵ=\theta (c)$
    • 其中$\theta (c)$是一个大于0的常数表达式,例如取$\theta (c)$为某个常数$M$或$\frac{1}{M}$
    • 有时也把$ϵ$隐去不写,而直接以给定的值$\theta (c)$来应用极限的条件
    • 因为$f(x)\to A(x\to \ast )$,所以$ϵ=\theta (c)$可以取任何正数
  • 通常,$ϵ$取值在能够说明问题的前提下,取值越简单,越具体越好(不一定越小越好),可能是
    • 极限值$A$相关的表达式(通常是$\frac{A}{2}$,这种手法可以推导出许多重要结论);
    • 具体常数,比如$1$
    • $ϵ$的表达式(例如$\frac{ϵ}{2}$,而不一定是$ϵ$本身,因为$ϵ$也是一个正的常数)
• 例如
  • 无穷小之和仍为无穷小的证明中,就是以上述方式运用极限的条件
  • 证明函数极限的有界性时,取$ϵ=1$
  • 证明函数极限的局部保号性时,可以取$ϵ=\pm \frac{A}{2}$

概念辨析👺

• 这里要辨析的概念(假设$x\to \ast$的极限过程中)
  • 可无限接近(要多接近有多接近)的值是极限
  • 越来越接近的值不一定是极限
  • 无限接近不同于越来越接近
    • 无限接近得不出越来越接近
    • 越来越接近也得不出无限接近

无限接近不同于越来越接近

• 无限接近(任意接近)于极限(趋近于极限)$\nLeftrightarrow$越来越接近极限

  • 极限强调的时无限接近,但不要求严格的越来越接近,只要总体上是越来越接近即可

  • ${\lim }_{x_n\to \infty }{x}_n=0$,我们不能够说,$x_n$随着$n\to \infty$ $,x_n$越来越接近$x_n$

例

• 不单调也可以无限接近(有极限)

• $x_n=\frac{1}{n}$;极限$x_n=0(n\to \infty )$单调而且有极限0

• $x_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$=$(-1{)}^n\frac{1}{n}$;极限$x_n=0(n\to \infty )$不单调但是也有极限0

例

• 令$f_1(x)$=$\frac{1}{x}$;$f_2(x)$=$\frac{3}{x}$;$f(x)=\{\begin{array}{ll}{f}_1(x)& (n为奇数)\\ f_2(x)& (n为偶数)\end{array}$
• $f_1(x)$,$f_2(x)$都满足$x_n\to 0(n\to \infty )$;而$f(x)$是振荡地趋近于0
• $x_1,x_2,x_3,x_4,\dots$ 分别等于$1,\frac{3}{2},\frac{1}{3},\frac{3}{4}$

越来越接近推不出无限接近

• $y=\frac{1}{x}+1(x>0)$,$x\to \infty$ 的过程越来越接近于$y=1$,同时$y$还越来越接近与$y=0$,

• 尽管$y$可以无限接近于1,但是无法无限接近于$y=0$,因为我们可以肯定:$y>1$;