数据结构预算法之买股票最好时机动态规划(可买卖多次)

一.题目

二.思路

在动规五部曲中，这个区别主要是体现在递推公式上，其他都和上一篇文章思路是一样的。

所以我们重点讲一讲递推公式。

这里重申一下dp数组的含义：

• dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。

• dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来

• 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]

• 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]

注意这里和上一题唯一不同的地方，就是推导dp[i][0]的时候，第i天买入股票的情况。

在上一题中，因为股票全程只能买卖一次，所以如果买入股票，那么第i天持有股票即dp[i][0]一定就是 -prices[i]。

而本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。

那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]。

再来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来

• 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]

• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

注意这里和上一题就是一样的逻辑，卖出股票收获利润（可能是负值）天经地义！

C++代码如下：

（注意代码中的注释，标记了和121.买卖股票的最佳时机唯一不同的地方）

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int len = prices.size();vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2, 0));dp[0][0] -= prices[0];dp[0][1] = 0;for (int i = 1; i < len; i++) {dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); // 注意这里是和121. 买卖股票的最佳时机唯一不同的地方。dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);}return dp[len - 1][1];}
};

• 时间复杂度：O(n)

• 空间复杂度：O(n)

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);

这正是因为本题的股票可以买卖多次！ 所以买入股票的时候，可能会有之前买卖的利润即：dp[i - 1][1]，所以dp[i - 1][1] - prices[i]。

想到到这一点，对这两道题理解的就比较深刻了。

Java语言版本：

// 动态规划
class Solution // 实现1：二维数组存储// 可以将每天持有与否的情况分别用 dp[i][0] 和 dp[i][1] 来进行存储// 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)public int maxProfit(int[] prices) {int n = prices.length;int[][] dp = new int[n][2];     // 创建二维数组存储状态dp[0][0] = 0;                   // 初始状态dp[0][1] = -prices[0];for (int i = 1; i < n; ++i) {dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);    // 第 i 天，没有股票dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);    // 第 i 天，持有股票}return dp[n - 1][0];    // 卖出股票收益高于持有股票收益，因此取[0]}
}