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算法训练营 day42 动态规划 理论基础 斐波那契数 爬楼梯 使用最小花费爬楼梯

算法训练营 day42 动态规划 理论基础 斐波那契数 爬楼梯 使用最小花费爬楼梯

理论基础

动态规划,英文:Dynamic Programming,简称DP,如果某一问题有很多重叠子问题,使用动态规划是最有效的。

所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的,这一点就区分于贪心,贪心没有状态推导,而是从局部直接选最优的,

规是由前一个状态推导出来的,而贪心是局部直接选最优的,

状态转移公式(递推公式)是很重要,但动规不仅仅只有递推公式。

对于动态规划问题,我将拆解为如下五步曲,这五步都搞清楚了,才能说把动态规划真的掌握了!

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
  2. 确定递推公式
  3. dp数组如何初始化
  4. 确定遍历顺序
  5. 举例推导dp数组

斐波那契数

509. 斐波那契数 - 力扣(LeetCode)

斐波那契数 (通常用 F(n) 表示)形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 01 开始,后面的每一项数字都是前面两项数字的和。

这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果

  1. 确定dp数组以及下标的含义

    dp[i]的定义为:第i个数的斐波那契数值是dp[i]

  2. 确定递推公式

    题目已经把递推公式直接给我们了:状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

  3. dp数组如何初始化

    题目中把如何初始化也直接给我们了

  4. 确定遍历顺序

    从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出,dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2],那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

  5. 举例推导dp数组

class Solution {public int fib(int n) {if(n<=1) return n;int[] dp = new int[n+1];dp[0] = 0;dp[1] = 1;for (int i = 2; i <=n; i++) {dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];}return dp[n];}
}

爬楼梯

70. 爬楼梯 - 力扣(LeetCode)

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 12 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?

动规五部曲:

定义一个一维数组来记录不同楼层的状态

  1. 确定dp数组以及下标的含义

    dp[i]: 爬到第i层楼梯,有dp[i]种方法

  2. 确定递推公式

    从dp[i]的定义可以看出,dp[i] 可以有两个方向推出来。

    首先是dp[i - 1],上i-1层楼梯,有dp[i - 1]种方法,那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。

    还有就是dp[i - 2],上i-2层楼梯,有dp[i - 2]种方法,那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。

    那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和!

  3. dp数组如何初始化

    其实这么争论下去没有意义,大部分解释说dp[0]应该为1的理由其实是因为dp[0]=1的话在递推的过程中i从2开始遍历本题就能过,然后就往结果上靠去解释dp[0] = 1

    所以我的原则是:不考虑dp[0]如何初始化,只初始化dp[1] = 1,dp[2] = 2,然后从i = 3开始递推,这样才符合dp[i]的定义。

  4. 确定遍历顺序

    从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出,遍历顺序一定是从前向后遍历的

  5. 举例推导dp数组

class Solution {public int climbStairs(int n) {if (n<2) return n;int[] dp = new int[n+1];dp[1] = 1;dp[2] = 2;for (int i = 3; i < dp.length ; i++) {dp[i] = dp[i-2]+dp[i-1];}return dp[n];}
}

使用最小花费爬楼梯

746. 使用最小花费爬楼梯 - 力扣(LeetCode)

给你一个整数数组 cost ,其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用,即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

  1. 确定dp数组以及下标的含义

    本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。

dp[i]的定义:到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]
2. 确定递推公式

可以有两个途径得到dp[i],一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]

dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。

dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。

那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢?

一定是选最小的,所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

  1. dp数组如何初始化

    看一下递归公式,dp[i]由dp[i - 1],dp[i - 2]推出,既然初始化所有的dp[i]是不可能的,那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了,其他的最终都是dp[0]dp[1]推出。

  2. 确定遍历顺序

    因为是模拟台阶,而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出,所以是从前到后遍历cost数组就可以了。

  3. 举例推导dp数组

class Solution {public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {if (cost.length==0) return 0;if (cost.length==1) return cost[0];int[] dp = new int[cost.length+1];dp[0] = 0;dp[1] = 0;for (int i = 2; i < dp.length; i++) {dp[i] = Math.min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);}return dp[cost.length];}
}

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