在动态规划的海洋中遨游(三)
前言:\textcolor{Green}{前言:}前言:
💞 好久没写题,有点生疏了。这也是给大家提一个醒,一定要一直坚持下去,哪怕每天只做一点点。💞
算法类别
- 一、算法介绍
- 原理
- 适用的情况
- 做题步骤
- 二、算法实例
- 1. 打家劫舍(一)
- 2. 打家劫舍(二)
- 3. 买卖股票的最好时机(一)
- 4. 买卖股票的最好时机(二)
- 总结归纳
一、算法介绍
原理
思想:将大问题划分为小问题进行解决,从而一步步获取最优解的处理算法。按顺序求解子阶段,前面子问题的解为后面子问题的求解提供信息。
如果某一问题有很多重叠子问题,使用动态规划是最有效的。
动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来。
动态规划算法的基本思想
是:将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解;对于重复出现的子问题,只在第一次遇到的时候对它进行求解,并把答案保存起来,让以后再次遇到时直接引用答案,不必重新求解。动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果。
适用的情况
- 最优化原理:如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的,称该问题具有最优子结构,即满足最优化原理。
- 没有后效性:即某阶段状态一旦确定,就不受这个状态以后决策的影响。也就是说:某状态以后的过程不会影响以前的状态,只与当前状态有关。
- 有重叠子问题:子问题之间是不独立的,一个子问题在下一个近阶段可能被多次遇到。(这条性质不是动态规划适用的必要条件,但是具备这条性质那么动态规划相对于其他算法就具备一定的优势)。
做题步骤
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
二、算法实例
1. 打家劫舍(一)
题目来源:\textcolor{OrangeRed}{题目来源:}题目来源:BM78 打家劫舍(一)
等级:中等\textcolor{OrangeRed}{等级:中等}等级:中等
👉题目描述
你是一个经验丰富的小偷,准备偷沿街的一排房间,每个房间都存有一定的现金,为了防止被发现,你不能偷相邻的两家,即,如果偷了第一家,就不能再偷第二家;如果偷了第二家,那么就不能偷第一家和第三家。
给定一个整数数组nums,数组中的元素表示每个房间存有的现金数额,请你计算在不被发现的前提下最多的偷窃金额。
数据范围:数组长度满足 1≤n≤2×1051≤n≤2×10^51≤n≤2×105,数组中每个值满足 1≤num[i]≤50001≤num[i]≤50001≤num[i]≤5000
示例1
输入:[1,2,3,4]
返回值:6
说明:最优方案是偷第 2,4 个房间
示例2
输入:[1,3,6]
返回值:7
说明:最优方案是偷第 1,3个房间
示例3
输入:[2,10,5]
返回值:10
说明:最优方案是偷第 2 个房间
👉代码编写
最好的办法是通过动态规划来进行。
如果单纯选择奇数家或者偶数家进行偷取,也可能发生问题。例如为了更多的钱可能会连续选择两家不偷。
👉👉方法1
import java.util.*;public class Solution {/*** 代码中的类名、方法名、参数名已经指定,请勿修改,直接返回方法规定的值即可** * @param nums int整型一维数组 * @return int整型*/public int rob (int[] nums) {// write code hereint len = nums.length;if (len <= 1) return nums[0];int[] dp = new int[len];dp[0] = nums[0];dp[1] = Math.max(dp[0], nums[1]);for (int i = 2; i < len; ++i) {dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);}return Math.max(dp[len - 1], dp[len - 2]);}
}
👉👉方法2
(借鉴的方法)
step 1:用dp[i]表示长度为i的数组,最多能偷取到多少钱,只要每次转移状态逐渐累加就可以得到整个数组能偷取的钱。
step 2:(初始状态) 如果数组长度为1,只有一家人,因此dp[1]=nums[0]。
step 3:(状态转移) 每次对于一个人家,我们选择偷他或者不偷他,如果我们选择偷那么前一家必定不能偷,因此累加的上上级的最多收益,同理如果选择不偷他,那我们最多可以累加上一级的收益。因此转移方程为,dp[i]=max(dp[i−1],nums[i−1]+dp[i−2])。这里的i在dp中为数组长度,在nums中为下标。
import java.util.*;public class Solution {/*** 代码中的类名、方法名、参数名已经指定,请勿修改,直接返回方法规定的值即可** * @param nums int整型一维数组 * @return int整型*/public int rob (int[] nums) {//dp[i]表示长度为i的数组,最多能偷取多少钱int[] dp = new int[nums.length + 1];dp[1] = nums[0];for(int i = 2; i <= nums.length; i++)//对于每家可以选择不偷或者偷dp[i] = Math.max(dp[i - 1], nums[i - 1] + dp[i - 2]);return dp[nums.length];}
}
👉 注意点
在第一个方法中
这个是对的。
dp[1] = Math.max(dp[0], nums[1]);
这个是错的,通不过倒数第二个案例。
dp[1] = nums[1];
2. 打家劫舍(二)
题目来源:\textcolor{blue}{题目来源: }题目来源: BM79 打家劫舍(二)
等级:\textcolor{OrangeRed}{等级:}等级: 中等
👉题目描述
你是一个经验丰富的小偷,准备偷沿湖的一排房间,每个房间都存有一定的现金,为了防止被发现,你不能偷相邻的两家,即,如果偷了第一家,就不能再偷第二家,如果偷了第二家,那么就不能偷第一家和第三家。沿湖的房间组成一个闭合的圆形,即第一个房间和最后一个房间视为相邻。
给定一个长度为n的整数数组nums,数组中的元素表示每个房间存有的现金数额,请你计算在不被发现的前提下最多的偷窃金额。
数据范围:数组长度满足 1≤n≤2×1051≤n≤2×10^51≤n≤2×105 ,数组中每个值满足 1≤nums[i]≤50001≤nums[i]≤50001≤nums[i]≤5000
示例1
输入:[1,2,3,4]
返回值:6
说明:最优方案是偷第 2 4 个房间
示例2
输入:[1,3,6]
返回值:6
说明:由于 1 和 3 是相邻的,因此最优方案是偷第 3 个房间
👉代码编写
和上一题类似。但是本题中主要是有环形,意思就是选择第一家就不能选择最后一家,选择最后一家就不能选择第一家。那么我们就可以分类来讨论。
偷第一家,那么最后一家就不能偷
不偷第一家,那么意思就是dp[1]=0dp[1]=0dp[1]=0,去选择偷最后一家。
👉👉方法1
import java.util.*;public class Solution {/*** 代码中的类名、方法名、参数名已经指定,请勿修改,直接返回方法规定的值即可** * @param nums int整型一维数组 * @return int整型*/public int rob (int[] nums) {// write code hereint len = nums.length;if (len <= 1) return nums[0];int[] dp = new int[len + 1];dp[1] = nums[0];for (int i = 2; i < len; ++i) {dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i - 1]);}int result = dp[len - 1];Arrays.fill(dp, 0);dp[1] = 0;for (int i = 2; i <= len; ++i) {dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i - 1]);}return Math.max(dp[len], result);}
}
👉 注意点
注意环形,可以分开进行讨论。
3. 买卖股票的最好时机(一)
题目来源:\textcolor{blue}{题目来源: }题目来源: BM80 买卖股票的最好时机(一)
等级:简单\textcolor{OrangeRed}{等级:简单}等级:简单
👉题目描述
假设你有一个数组prices,长度为n,其中prices[i]是股票在第i天的价格,请根据这个价格数组,返回买卖股票能获得的最大收益
1.你可以买入一次股票和卖出一次股票,并非每天都可以买入或卖出一次,总共只能买入和卖出一次,且买入必须在卖出的前面的某一天
2.如果不能获取到任何利润,请返回0
3.假设买入卖出均无手续费
数据范围: 0≤n≤1050≤n≤10^50≤n≤105 , 0≤val≤1040≤val≤10^40≤val≤104
要求:空间复杂度 O(1),时间复杂度 O(n)
示例1
输入:[8,9,2,5,4,7,1]
返回值:5
说明:在第3天(股票价格 = 2)的时候买入,在第6天(股票价格 = 7)的时候卖出,最大利润 = 7-2 = 5 ,不能选择在第2天买入,第3天卖出,这样就亏损7了;同时,你也不能在买入前卖出股票。
示例2
输入:[2,4,1]
返回值:2
示例3
输入:[3,2,1]
返回值:0
👉代码编写
-
状态定义:
dp[i][j]
:下标为 i 这一天结束的时候,手上持股状态为 j 时,我们持有的现金数。
j = 0,表示当前不持股; j = 1,表示当前持股。
dp[i][0]:第 i 天不持股到该天最大收益
dp[i][1]:第 i 天持股到该天最大收益 -
推导状态转移方程:
- dp[i][0]:当天不持股,有以下两种情况:
昨天不持股,今天什么都不做;
昨天持股,今天卖出股票(现金数增加),
状态转移方程:dp[i][0]=Math.max(dp[i−1][0],dp[i−1][1]+prices[i])dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i])dp[i][0]=Math.max(dp[i−1][0],dp[i−1][1]+prices[i]); - dp[i][1]:当天持股,有以下两种情况:
昨天持股,今天什么都不做(现金数与昨天一样);
昨天不持股,今天买入股票(注意:只允许交易一次,因此手上的现金数就是当天的股价的相反数)
状态转移方程:dp[i][1]=Math.max(dp[i−1][1],−prices[i])dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i])dp[i][1]=Math.max(dp[i−1][1],−prices[i]);
- dp[i][0]:当天不持股,有以下两种情况:
👉👉方法1
import java.util.*;public class Solution {/*** * @param prices int整型一维数组 * @return int整型*/public int maxProfit (int[] prices) {// write code hereint n = prices.length;int[][] dp = new int[n][2];// 不持股dp[0][0] = 0;// 持股dp[0][1] = -prices[0];for (int i = 1; i < n; ++i) {// 什么都不做 / 持股卖出股票dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);// 继续持股 / 之前没有持股,买入股票dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);}return dp[n - 1][0];}
}
👉 注意点
虽然是个简单题,但是还是需要思考一下,状态方程和转移方程是如何。
4. 买卖股票的最好时机(二)
题目来源:\textcolor{blue}{题目来源: }题目来源:BM81 买卖股票的最好时机(二)
等级:中等\textcolor{OrangeRed}{等级:中等}等级:中等
👉题目描述
假设你有一个数组prices,长度为n,其中prices[i]是某只股票在第i天的价格,请根据这个价格数组,返回买卖股票能获得的最大收益
- 你可以多次买卖该只股票,但是再次购买前必须卖出之前的股票
- 如果不能获取收益,请返回0
- 假设买入卖出均无手续费
数据范围: 1≤n≤1×1051≤n≤1×10^51≤n≤1×105 , 1≤prices[i]≤1041≤prices[i]≤10^41≤prices[i]≤104
要求:空间复杂度 O(n),时间复杂度 O(n)
进阶:空间复杂度 O(1),时间复杂度 O(n)
示例1
输入:[8,9,2,5,4,7,1]
返回值:7
说明:
在第1天(股票价格=8)买入,第2天(股票价格=9)卖出,获利9-8=1
在第3天(股票价格=2)买入,第4天(股票价格=5)卖出,获利5-2=3
在第5天(股票价格=4)买入,第6天(股票价格=7)卖出,获利7-4=3
总获利1+3+3=7,返回7
示例2
输入:[5,4,3,2,1]
返回值:0
说明:由于每天股票都在跌,因此不进行任何交易最优。最大收益为0。
示例3
输入:[1,2,3,4,5]
返回值:4
说明:第一天买进,最后一天卖出最优。中间的当天买进当天卖出不影响最终结果。最大收益为4。
备注:
总天数不大于200000。保证股票每一天的价格在[1,100]范围内。
👉代码编写
和上一题类似,不过该题不需要控制购买次数。
- 状态定义:
dp[i][i]
:下标为 i 这一天结束的时候,手上持股状态为 j 时,我们持有的现金数。
j = 0,表示当前不持股; j = 1,表示当前持股。
dp[i][0]:第 i 天不持股到该天最大收益
dp[i][1]:第 i 天持股到该天最大收益 - 状态转移:
- dp[i][0]: 当天不持股,表示前面卖了或者没有买。或者当天将股票卖出了。
状态转移方程dp[i][0]=Math.max(dp[i−1][0],dp[i−1][1]+price[i])dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + price[i])dp[i][0]=Math.max(dp[i−1][0],dp[i−1][1]+price[i])。 - dp[i][1]:当天持股,表示前面买入的股票还没有卖。或者当天买入了股票。
状态转移方程dp[i][1]=Math.max(dp[i−1][1],dp[i−1][0]−price[i])dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - price[i])dp[i][1]=Math.max(dp[i−1][1],dp[i−1][0]−price[i])
- dp[i][0]: 当天不持股,表示前面卖了或者没有买。或者当天将股票卖出了。
👉👉方法1
import java.util.*;public class Solution {/*** 代码中的类名、方法名、参数名已经指定,请勿修改,直接返回方法规定的值即可* 计算最大收益* @param prices int整型一维数组 股票每一天的价格* @return int整型*/public int maxProfit (int[] prices) {// write code hereint n = prices.length;int[][] dp = new int[n][2];dp[0][0] = 0;dp[0][1] = -prices[0];for (int i = 1; i < n; ++i) {dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);}return dp[n - 1][0];}
}
总结归纳
前方仍需努力。关于买卖股票这一个题还有一个困难题型,这里没有提出,有需求的小伙伴可以自行千万解决BM82 买卖股票的最好时机(三)。这一个题和(一)是类似的,但是加入了条件,只能进行两次购买票操作。
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