当前位置： 首页 > news >正文

杨辉三角按列求和

news 2026/2/9 15:53:11

假设求杨辉三角这一列

在这里插入图片描述

我们考虑这个格子：

在这里插入图片描述

然后对其不断展开

在这里插入图片描述

综上：

∑ i = 0 n ( i k ) = ( n + 1 k + 1 ) \sum_{i=0}^n\binom i k=\binom {n+1}{k+1} i=0∑n​(ki​)=(k+1n+1​)

∑ i = l r ( i k ) = ( r + 1 k + 1 ) − ( l k + 1 ) \sum_{i=l}^r\binom i k=\binom{r+1}{k+1}-\binom{l}{k+1} i=l∑r​(ki​)=(k+1r+1​)−(k+1l​)

相关文章：

杨辉三角按列求和

假设求杨辉三角这一列 我们考虑这个格子： 然后对其不断展开 综上： ∑ i 0 n ( i k ) ( n 1 k 1 ) \sum_{i0}^n\binom i k\binom {n1}{k1} i0∑n​(ki​)(k1n1​) ∑ i l r ( i k ) ( r 1 k 1 ) − ( l k 1 ) \sum_{il}^r\binom i k\binom{r1}{k…...

编程日记 2023/10/18 19:25:53

C复习-语句

参考： 里科《C和指针》 语句 C没有bool，是用整型代替的。因此if(expression)中，expression只要是可以产生整型结果即可，且0表示假，非0表示真。 如果有只靠缩进没有{}的else语句，会自动匹配离它最近的、不…...

编程日记 2023/10/18 19:24:52

[Python进阶] 操纵键盘：PyAutoGUI

6.5 操纵键盘：PyAutoGUI 6.5.1 keyDown、keyUp 按下或弹起某个按键。在按下时不会释放。 参数: key(str): 要按下的键。有效的名称列在KEYBOARD_KEYS。 logScreenshot：是否要截图并保存在当前文件夹下。 import pyautoguipyautogui.keyDown(f) # 模拟…...

编程日记 2023/10/18 19:23:51

jdbc快速开始

文章目录 快速开始参考文献 jdbc 就是使用java语言操作关系型数据库的一套api jdbc本质： 官方(sun公司)定义的一套操作所有关系型数据库的规则，就是接口各个数据库厂商去实现这套接口，提供数据库驱动jar包我们可以使用这套接口编程&#xff…...

编程日记 2023/10/18 19:21:48

C语言中static关键字用法

C语言中static关键字用法 2021年7月28日席锦 static关键字在c语言中比较常用，使用恰当能够大大提高程序的模块化特性，有利于扩展和维护。但是对于c语言初学者，static由于使用灵活，并不容易掌握。 变量 1.局部变量 普通局部变量是再…...

编程日记 2023/10/18 19:20:46

STM32-LCD液晶显示

LCD液晶显示 针对野火指南者配套资料：3.2寸 LCD电阻屏，屏幕里自带ILI9341液晶控制器芯片，该控制器芯片中存在GRAM（即显存）。该液晶控制器使用8080接口与单片机通讯，液晶面板引出来的FPC信号线为8080接口&am…...

编程日记 2023/10/18 19:19:44

GraphQL 查询：一个全面指南

GraphQL GraphQL 是一种 API 查询语言和运行时，用于使用现有数据完成这些查询。它为您的 API 中的数据提供了完整且易于理解的描述，让客户能够准确地询问他们需要什么，更容易随着时间的推移发展 API，并启用强大的开发人员工具。 …...

编程日记 2023/10/18 19:17:43

快速自动化处理JavaScript渲染页面的方法

目录 一、使用无头浏览器 二、使用JavaScript渲染引擎 三、使用前端框架工具 随着互联网技术的不断发展，JavaScript已经成为Web开发中不可或缺的一部分。然而，在自动化处理JavaScript渲染页面方面，却常常让开发者感到头疼。本文将介绍一些快…...

编程日记 2023/10/18 19:16:42

[计算机提升] 系统及用户操作

1.4 系统及用户操作 1.4.1 系统操作 1.4.1.1 开机、关机、重启 在Windows系统中，开机（Power On），关机（Shutdown）和重启（Restart）是指计算机的不同电源控制操作。 开机：…...

编程日记 2023/10/18 19:15:40

Linux篇 四、Linux修改用户名

Linux系列文章目录 一、香橙派Zero2设置开机连接wifi 二、香橙派Zero2获取Linux SDK源码 三、香橙派Zero2搭建Qt环境 文章目录 Linux系列文章目录前言一、更改用户名准备二、修改用户名总结 前言 想要把Ubuntu的普通用户名修改成自己想要的 一、更改用户名准备 LubanCat 镜像…...

编程日记 2023/10/18 19:14:39

【Element-plus】如何让滚动条永远在最底部（支持在线演示）

如何让滚动条永远在最底部 一、适用场景二、实现思路三、效果图四、在线演示五、完整代码 一、适用场景 在某些场景下，你可能希望滚动条保持在最底部，以确保用户始终看到最新的内容或信息。如：在实时聊天应用程序中，当新消息到达…...

编程日记 2023/10/18 19:11:35

解决方案-LBS用户位置Redis-GEO附近人/店铺

附近人 windows安装附近人列表功能mysqlredis GEO CNNVD-201511-230 未授权访问python 多线程 redis大端模式与小端模式IP地址的不同表现形式1.字符串表现形式2. 整数表现形式3.大小端模式下的IP地址 0x01 进入python正题Python的socket库1.socket.socket(family,type)2.socket…...

编程日记 2023/10/18 19:10:34

springboot+html实现简单注册登录

前端&#xff1a; register.html <!DOCTYPE html> <html lang"en" > <head><meta charset"UTF-8"><title>register</title><link rel"stylesheet" type"text/css" href"/css/style.css&…...

编程日记 2023/10/18 19:09:33

ESP32网络开发实例-Web控制8路继电器

Web控制8路继电器 文章目录 Web控制8路继电器1、继器器介绍2、软件准备3、硬件准备4、代码实现4.1 单路继电器控制灯泡4.2 Web控制8路继电器将继电器与 ESP32 一起使用是远程控制交流家用电器的好方法。 本文介绍如何使用 ESP32 控制继电器模块。 我们将了解继电器模块的工作原…...

编程日记 2023/10/18 19:08:32

Flutter ☞ 变量

在Flutter中&#xff0c;变量分为两种类型 弱类型强类型 弱类型 var 如果没有初始值&#xff0c;可以变成任何类型 var a; // var a ; // 一旦赋值&#xff0c;就确定类型&#xff0c;不能随意改动 a abc; a 123; a true; a {key: 123}; a [abc];print(a)Object 动…...

编程日记 2023/10/18 19:07:31

冲刺十五届蓝桥杯P0006平面切分

文章目录 题目思路代码总结 题目 平面切分 思路 这道题是一个思维题把&#xff0c;之前没有接触过平面几何的知识&#xff0c;做起来感觉还是比较难的&#xff0c;用到的set集合和自己创建一个类 首先我们知道&#xff0c;一根直线A是可以将平面切分成两块的&#xff0c;如…...

编程日记 2023/10/18 19:05:26

mac电脑文献管理 EndNote 21最新 for Mac

EndNote 21 Mac版不仅能够快速有效的的帮助用户管理自己的文献&#xff0c;而且还可以用来创建个人参考文献库&#xff0c;添加各种文本&#xff0c;图像&#xff0c;连接&#xff0c;表格等等内容&#xff01; - 搜索数百个在线资源以获取参考和PDF - 只需点击一下即可查找参…...

编程日记 2023/10/18 19:04:25

vue使用pdf-dist实现pdf预览以及水印

vue使用pdf-dist实现pdf预览以及水印 一.使用pdf-dist插件将PDF文件转换为一张张canvas图片 npm install pdf-dist二.页面引入插件 const pdfJS require("pdfjs-dist"); pdfJS.GlobalWorkerOptions.workerSrc require("pdfjs-dist/build/pdf.worker.entry&…...

编程日记 2023/10/18 19:02:23

[Python进阶] 操纵键盘：Pynput

6.7 操纵键盘&#xff1a;Pynput 6.7.1 press、release 按下或释放某个按键。 from pynput.keyboard import Controller, Keykeyboard Controller() # 按下并释放f keyboard.press(f) keyboard.release(f) # 按下组合按键&#xff1a;alt tab keyboard.press(Key.alt) key…...

编程日记 2023/10/18 19:01:22

购药不烦恼：线上购药小程序的快捷方式

在这个数字化时代&#xff0c;线上购药小程序的快捷方式正在改变着我们购药的方式。本文将介绍如何通过使用Python和Flask框架创建一个简单的线上购药小程序的原型&#xff0c;为用户提供购药的便利和快捷体验。 安装和设置 首先&#xff0c;确保你已经安装了Python和Flask。…...

编程日记 2023/10/18 19:00:20

LBE-LEX系列工业语音播放器|预警播报器|喇叭蜂鸣器的上位机配置操作说明

LBE-LEX系列工业语音播放器|预警播报器|喇叭蜂鸣器专为工业环境精心打造&#xff0c;完美适配AGV和无人叉车。同时&#xff0c;集成以太网与语音合成技术&#xff0c;为各类高级系统&#xff08;如MES、调度系统、库位管理、立库等&#xff09;提供高效便捷的语音交互体验。 L…...

编程新知 2026/2/8 4:23:14

铭豹扩展坞 USB转网口 突然无法识别解决方法

当 USB 转网口扩展坞在一台笔记本上无法识别，但在其他电脑上正常工作时，问题通常出在笔记本自身或其与扩展坞的兼容性上。以下是系统化的定位思路和排查步骤，帮助你快速找到故障原因： 背景： 一个M-pard（铭豹）扩展坞的网卡突然无法识别了，扩展出来的三个USB接口正常。…...

编程新知 2026/2/8 4:37:22

业务系统对接大模型的基础方案：架构设计与关键步骤

业务系统对接大模型&#xff1a;架构设计与关键步骤 在当今数字化转型的浪潮中&#xff0c;大语言模型&#xff08;LLM&#xff09;已成为企业提升业务效率和创新能力的关键技术之一。将大模型集成到业务系统中&#xff0c;不仅可以优化用户体验&#xff0c;还能为业务决策提供…...

编程新知 2026/2/8 4:53:03

JavaScript 中的 ES|QL：利用 Apache Arrow 工具

作者&#xff1a;来自 Elastic Jeffrey Rengifo 学习如何将 ES|QL 与 JavaScript 的 Apache Arrow 客户端工具一起使用。 想获得 Elastic 认证吗&#xff1f;了解下一期 Elasticsearch Engineer 培训的时间吧&#xff01; Elasticsearch 拥有众多新功能&#xff0c;助你为自己…...

编程新知 2026/1/23 7:23:58

大数据零基础学习day1之环境准备和大数据初步理解

学习大数据会使用到多台Linux服务器。 一、环境准备 1、VMware 基于VMware构建Linux虚拟机 是大数据从业者或者IT从业者的必备技能之一也是成本低廉的方案 所以VMware虚拟机方案是必须要学习的。 &#xff08;1&#xff09;设置网关 打开VMware虚拟机&#xff0c;点击编辑…...

编程新知 2026/1/25 14:43:07

12.找到字符串中所有字母异位词

&#x1f9e0; 题目解析 题目描述&#xff1a; 给定两个字符串 s 和 p&#xff0c;找出 s 中所有 p 的字母异位词的起始索引。 返回的答案以数组形式表示。 字母异位词定义&#xff1a; 若两个字符串包含的字符种类和出现次数完全相同&#xff0c;顺序无所谓&#xff0c;则互为…...

编程新知 2026/1/31 12:52:29

CMake 从 GitHub 下载第三方库并使用

有时我们希望直接使用 GitHub 上的开源库，而不想手动下载、编译和安装。 可以利用 CMake 提供的 FetchContent 模块来实现自动下载、构建和链接第三方库。 FetchContent 命令官方文档✅ 示例代码 我们将以 fmt 这个流行的格式化库为例，演示如何： 使用 FetchContent 从 GitH…...

编程新知 2026/2/1 3:19:54

Java入门学习详细版（一）

大家好&#xff0c;Java 学习是一个系统学习的过程&#xff0c;核心原则就是“理论 实践 坚持”&#xff0c;并且需循序渐进&#xff0c;不可过于着急&#xff0c;本篇文章推出的这份详细入门学习资料将带大家从零基础开始&#xff0c;逐步掌握 Java 的核心概念和编程技能。 …...

编程新知 2025/12/14 14:47:02

Caliper 配置文件解析：config.yaml

Caliper 是一个区块链性能基准测试工具，用于评估不同区块链平台的性能。下面我将详细解释你提供的 fisco-bcos.json 文件结构，并说明它与 config.yaml 文件的关系。 fisco-bcos.json 文件解析 这个文件是针对 FISCO-BCOS 区块链网络的 Caliper 配置文件，主要包含以下几个部…...

编程新知 2025/8/13 13:40:18

大语言模型（LLM）中的KV缓存压缩与动态稀疏注意力机制设计

随着大语言模型&#xff08;LLM&#xff09;参数规模的增长&#xff0c;推理阶段的内存占用和计算复杂度成为核心挑战。传统注意力机制的计算复杂度随序列长度呈二次方增长&#xff0c;而KV缓存的内存消耗可能高达数十GB&#xff08;例如Llama2-7B处理100K token时需50GB内存&a…...

编程新知 2026/1/28 1:40:03