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斜率优化dp

news 2025/9/15 14:18:33

f i = min ⁡ ( a j − j × i ) f_i=\min(a_j - j \times i) fi​=min(aj​−j×i)

考虑变成点对 ( j , a j ) (j,a_j) (j,aj​)，则 f i = Y j − X j i f_i=Y_j-X_ji fi​=Yj​−Xj​i

令 i = k , f i = b i=k, f_i=b i=k,fi​=b，得 b = Y j − X j k b=Y_j-X_jk b=Yj​−Xj​k，即 Y j = X j k + b Y_j=X_jk+b Yj​=Xj​k+b

我们希望 b b b 尽量小，也就是截距尽可能小，即下图红色部分

在这里插入图片描述

对于点对，我们维护凸壳

在这里插入图片描述

可以发现，在第一个切的地方我们可以取截距最小

维护凸壳采用的是单调队列，我们维护两点之间斜率递增

如果新加入的点会使斜率递减，则把队尾的点pop掉

然后我们就可以二分 / 决策单调性了

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