数据结构-- 并查集

0. 引入

并查集是来解决等价问题的数据结构。

离散数学中的二元关系。

等价关系需满足自反性、对称性、传递性。
$$\begin{gathered} a\in S,aRa \\ aRb\&bRa \\ aRb\cap bRc=>aRc \end{gathered}$$

1. 需要实现的操作

给定n个数据，看能划分多少个等价类。

初始时即分为n个等价类，然后再一一合并。

所以需要实现的操作为：

1. 合并两个等价类
2. 查找元素属于哪个等价类

2. 实现

2.0 父节点

vector<int> pa;

2.1 查找

int Find(int k)
{return k == pa[k] ? k : Find(pa[k]);
}

2.2 合并

void Union(int a0, int a1)
{int p0 = Find(a0);int p1 = Find(a1);if ( p0 != p1 ) {pa[p0] = p1;}
}

2.3 路径压缩

对于查找来说如果简单的递归的话，最坏的情况便是全都在左子树。

如(0,1) (0,2) (0,3) (0, 4) ... (0, n)

这样会导致单次查询如同一个链表一样达到O(n)。

只需要改动一点点就可以完成路径压缩。

int Find(int k)
{
return k == pa[k] ? k : pa[k] = Find(pa[k]);
}

2.4 按节点数合并

可以令开一个数组，记录当前节点下的节点数。在合并的时候取小的节点合并到大的节点上去。

void Union(int a1, int a2)
{int p1 = Find(a1);int p2 = Find(a2);if ( p1 == p2)return;if (sz[p1] < sz[p2]) {pa[p1] = p2;sz[p2] += sz[p1];}else {pa[p2] = p1;sz[p1] += sz[p2];}     
}

3. 类封装

3.1 路径压缩

class UnionFind {public:explicit UnionFind(int sz):cnt(sz),pa(sz){iota(pa.begin(), pa.end(), 0);}int Find(int k ){return k == pa[k] ? k : pa[k] = Find(pa[k]);}void Union(int k1, int k2 ){int p0 = Find(k1);int p1 = Find(k2);if ( p0 != p1) {pa[p0] = p1;cnt--;}}int Cnt(){return cnt;}private:vector<int> pa;int cnt;
};

3.2 按节点数合并

public:
class UnionFind {public:explicit UnionFind(int _sz):cnt(_sz),pa(_sz),sz(_sz, 1){iota(pa.begin(), pa.end(), 0);}int Find(int k ){return k == pa[k] ? k : Find(pa[k]);}void Union(int k1, int k2 ){int p0 = Find(k1);int p1 = Find(k2);if (p0 == p1)return ;if (sz[p0] < sz[p1] ) {pa[p0] = p1;sz[p1] += sz[p0];}else {pa[p1] = p0;sz[p0] += sz[p1];}}int Cnt(){return cnt;}int Size(int idx){ return sz[idx]; }private:vector<int> pa,sz;int cnt;
};

4. 参考

lFoll题解
OIWIKI