树与二叉树（考研版）

树与二叉树

树的基本概念

树的定义是递归的，即在树的定义中又用到了其自身，树是一种递归的数据结构。同时是一种分层结构，具有以下两个特点：

• 树的根节点没有前驱，除根节点外所有结点有且只有一个前驱。
• 树中所有结点都可以有零个或多个后继。

特点：树适合于表示具有层次结构的数据。

结点、树属性的描述

1. 树中一个结点的孩子个数称为该结点的度，树中结点的最大度数称为树的度。

   • 结点的度：有几个孩子（分支）
   • 树的度：各结点的度的最大值

   如结点B的度为 2，结点D的度为 3，树的度为 3，剩余结点的度数都小于3，因此这颗树的度为3。

2. 结点的深度、高度和层次

   结点的深度：从上往下数（默认从 1 开始）

   结点的高度：从下往上数

   树的层次：总共多少层

树的性质

树具有如下最基本的性质：

1. 结点数 = 总度数 + 1

   结点的度：结点有几个孩子（分支）

   eg:【2010统考真题】在一棵度为4的树$T$中，若有20个度为4的结点，10个度为3的结点，1个度为2的结点，10个度为1的结点，则树$T$的叶子结点个数是（ $B$ ）

   $A.41$ $B.82$ $C.113$ $D.122$

   结点数：20 + 10 + 1 + 10 + $X_{叶子}$ = 41 + $X_{叶子}$

   总度数：20*4 + 10*3 + 1*2 + 10*1 = 122

   结点数 = 总度数 + 1 => 41 + $X_{叶子}$ = 122 + 1 => $X_{叶子}$ = 122 + 1 - 41 = 82

2. 度为m的树和m叉树的区别

   • 树的度：各结点的度的最大值
   • m叉树：每个结点最多只能有m个孩子的树

   度为m的树	m叉树
   任意结点的度≤m（最多m个孩子）	任意结点的度≤m（最多m个孩子）
   至少有一个结点度=m（有m个孩子）	允许所有结点的度都＜m
   一定是非空树，至少有m+1个结点	可以是空树

   

3. 度为$m$的树第$i$层至多有$m^{i-1}$个结点，$m$叉树第$i$层至多有$m^{i-1}$个结点

   

4. 高度为$h$的$m$叉树至多有$\frac{m^h-1}{m-1}$个结点

   等比数列求和公式：
   $$a+aq+a{q}^2+\cdot \cdot \cdot +a{q}^{n-1}=\frac{a(1-q^n)}{1-q}$$

   每层的结点求和即$m^0+m^1+m^2+\cdot \cdot \cdot \cdot +m^{h-1}$，利用等比数列求和即可。

5. 高度为$h$的$m$叉树至少有$h$个结点，高度为$h$、度为$m$的树至少有$h+m-1$个结点。

   

6. 具有n个结点的m叉树的最小高度为$\lceil lo{g}_m(n(m-1)+1)\rceil$

   高度最小的情况：所有结点都有$m$个孩子

   证明过程如下：前$h-1$层最多有$\frac {m^{h -1} - 1}{m - 1} $个结点，前h层最多有$\frac {m^{h} - 1}{m - 1} $个结点
   $$\begin{gathered} \frac{m^{h-1}-1}{m-1}<n\le \frac{m^h-1}{m-1} \\ {m}^{h-1}<n(m-1)+1\le mh \\ h-1<lo{g}_m(n(m-1)+1)\le h \\ {h}_{min}=\lceil lo{g}_m(n(m-1)+1)\rceil \end{gathered}$$

二叉树的概念

本章需要着重讨论的是二叉树（Binary Tree）。

二叉树是一种特殊的树形结构，其特点是每个节点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点），并且二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。一棵二叉树大概长这样：

并且二叉树任何结点的子树是有左右之分的，不能颠倒顺序，比如A结点左边的子树，称为左子树，右边的子树称为右子树。

二叉树有 5 中基本形态，分别是：

几种特殊的二叉树

1. 满二叉树：在一棵二叉树中，所有分支结点都存在左子树和右子树，且叶子结点都在同一层。

2. 完全二叉树：只有最后一层有空缺，并且所有的叶子结点是按照从左往右的顺序排列的。所以，一棵满二叉树，一定是一棵完全二叉树。

3. 二叉排序树：可用于元素的排序、搜索

   左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字

   右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字

   左子树和右子树又各是一颗二叉排序树

4. 平衡二叉树：能更高的搜索效率

   树上任意一个结点的左子树和右子树的深度之差不超过 1。

   

二叉树的性质

假设一棵二叉树中结点总数为$n$，度为0、1、2的结点数量分别为$n_0$、$n_1$、$n_2$，结点的边数为$E$.

性质一：非空二叉树上的叶子节点数等于度为2的结点树加1，即$n_0=n_2+1$。

由于一棵二叉树中只有这三种类型的结点，那么可以直接得到结点总数：
$$n=n_0+n_1+n_2$$
接下来换一个思路，从边的数量上考虑。因为每个结点有且仅有一条边与其父结点相连，那么边数之和就可以表示为：
$$E=n_1+2n_2$$

度为 1 的结点有一条边，度为 2 的结点有两条边，度为 0 的结点没有边。

根据前面树的基本性质可知，结点的边数为$E=n-1$。因此，可以得到另一个计算结点总数的方式（结合公式 (3)(4)）得：
$$\begin{gathered} E=n-1=n_1+2n_2(公式4) \\ n=n_1+2n_2+1 \\ n=n_1+2n_2+1=n_0+n_1+n_2(公式3) \\ {n}_0=n_2+1 \end{gathered}$$

性质二：非空二叉树上第k层上至多有$2^{k-1}(k\ge 1)$个结点。

第一层至多有$2^{1-1}$个结点，第二层至多有$2^{2-1}=2$个结点，以此类推，可以证明其为一个公比为 2 的等比数列$2^{k-1}$。

性质三：高度为k的二叉树至多有$2^k-1$个结点$(h\ge 1)$

对于一棵深度为k的二叉树，可以具有的最大结点数量为：
$$n=2^0+2^1+2^2+...+2^{k-1}$$
实际上每一层结点数量构成了一个以公比q = 2的等比数列，结合等比数列求和公式得：
$$S_n=\frac{a_1\times (1-q_n)}{1-q}=\frac{1\times (1-2^k)}{1-2}=-(1-2^k)=2^k-1$$

性质四：

对一棵有n个结点、深度为k的完全二叉树按从上到下、从左到右的顺序依次编号 1,2，···，n，现在对于任意一个结点i有以下关系：

1. 对于一个拥有左右孩子的结点i来说，其左孩子为2i，右孩子为2i+1。
2. 如果i = 1，那么此结点为二叉树的根节点；如果i > 1，那么其父结点就是$\lfloor i/2\rfloor$，比如第三个结点的父节点为第1个结点，也就是根节点。
3. 如果2i > n，则结点i没有左孩子，比如下图中的二叉树，n为5，假设此时i = 3，那么2i = 6 > n = 5，说明第三个结点没有左孩子。
4. 如果2i + 1 > n，则结点i没有右孩子。

性质五：一棵具有n个结点的**完全二叉树**深度为$k=\lfloor lo{g}_{2}n+1\rfloor$。

完全二叉树除了最后一层有空缺外，其他层数都是饱满的。假设这棵二叉树为满二叉树，那么根据我们前面得到的性质，假设层数为k层，那么总结点数量为$n=2^k-1$；根据完全二叉树性质，最后一层可满可不满(1～k-1层为满二叉树的情况下，总结点数$2^{k-1}-1$)，那么一棵完全二叉树结点的总结点数n满足：
$$2^{k-1}-1<n\le 2^k-1$$
因为n是一个整数，那么可以写成：
$$2^{k-1}\le n\le 2^k-1$$

这里左边可以取等号的情况如上图所示，该树为完全二叉树的极端情况。

现在只看左边的不等式，两边取对数得：
$$k-1\le lo{g}_{2}n$$
综上所述，一棵具有n个结点的完全二叉树深度为$k=\lfloor lo{g}_{2}n+1\rfloor$。

⚠️：性质五推导比较复杂，推荐直接记忆✌️。

二叉树练习题

1. 由三个结点可以构造出多少种不同的二叉树？

   手画直接的到结果，一共是五种。但是，如果要求N个结点的话如何求解呢？可以利用动态规划，接下来我们分析一下：

   • 假设现在没有结点或者一个结点，那么只有一种情况$h(0)=h(1)=1$

   • 假设现在有两个结点，其中一个为根节点，剩下的一个结点可以为左结点或右结点。如果为左结点，那么右边 0 个结点；如果为右结点，那么左边 0 个结点，则$h(2)=h(1)\times h(0)+h(0)\times h(1)=2$

   • 假设现在有三个结点，其中一个为根节点，剩下的两个结点情况就有三种情况，两个都在左边或者右边，或者一边一个，则$h(3)=h(2)\times h(0)+h(1)\times h(1)+h(0)\times h(0)=2+1+2=5$

   • 总结：N每次加一，项数就会多一项，所以只需要按照规律把所有情况的结果相加即可。

   #include <stdio.h>int main() {int n;scanf("%d", &n);int dp[n + 1];dp[0] = dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; ++i) {dp[i] = 0;for (int j = 0; j < i; ++j) {dp[i] += dp[i - j - 1] * dp[j];}}printf("%d",dp[n]);
   }
   

   

【2009年统考真题】已知一棵完全二叉树的第6层（设根为第1层）有8个叶结点，则该完全二叉树的结点个数最多是（C）

$A.39$ $B.53$ $C.111$ $D.119$

解：第6层最多$2^{6-1}=32$个结点，8个叶结点，则剩下的24个结点均有左右孩子（满足最多结点个数），即第7层有24*2=48个结点，前6层一共有$2^6-1=63$个结点，所有最多有$63+48=111$个结点。

二叉树的构建

定义结构体

typedef char E;typedef struct TreeNode {E element;struct TreeNode *left, *right;
} TreeNode, *Node;

假设我们要构建这个二叉树，首先我们要创建好这几个结点：

int main() {Node a = malloc(sizeof(TreeNode));Node b = malloc(sizeof(TreeNode));Node c = malloc(sizeof(TreeNode));Node d = malloc(sizeof(TreeNode));Node e = malloc(sizeof(TreeNode));a->element = 'A';b->element = 'B';c->element = 'C';d->element = 'D';e->element = 'E';
}

然后从上往下，依次连接每一个结点，并且测试是否连接成功：

int main() {//创建结点代码....a->left = b;a->right = c;b->left = d;b->right = e;c->left = c->right = NULL;d->left = d->right = NULL;e->left = e->right = NULL;printf("%c", a->left->left->element);
}

注意：这里需要将叶子结点或者其他只有一个结点的另一个空结点设置为NULL。

与此同时，我们在printf函数部分设置断点debug：

二叉树的遍历

前面通过使用链式结构，成功构建出了一棵二叉树，接着我们来看看如何遍历一棵二叉树，也就是说想要访问二叉树的每一个结点。由于树形结构特殊，遍历顺序并不唯一，所以一共有四种访问方式：**先序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历。**不同的访问方式输出都结点顺序也不同。

首先需要将这棵二叉树组装好，这一步比较繁琐，无可避免🥺🥺🥺

int main() {Node a = malloc(sizeof(TreeNode));Node b = malloc(sizeof(TreeNode));Node c = malloc(sizeof(TreeNode));Node d = malloc(sizeof(TreeNode));Node e = malloc(sizeof(TreeNode));Node f = malloc(sizeof(TreeNode));a->element = 'A';b->element = 'B';c->element = 'C';d->element = 'D';e->element = 'E';f->element = 'F';a->left = b;a->right = c;b->left = d;b->right = e;c->right = f;c->left = NULL;d->left = d->right = NULL;e->left = e->right = NULL;f->left = f->right = NULL;
}

先序遍历

先序遍历是一种勇往直前的态度，走到哪就遍历到那里，先走左边再走右边，比如上面的这个图，首先会从根节点开始：从A开始，先左后右，那么下一个就是 B，然后继续走左边，左边为 D；现在 ABD 走完之后，B 的左边结束了，那么就要从 B 的右边开始了，因此下一个是 E；E 结束之后，现在 A 的左子树已经完全遍历完成了。然后就是 A 的右边，接着就是 C，C 没有左子树，直接走右边，最后输出 F；所以上面这个二叉树的前序遍历结果为：ABDECF。

先序遍历（preOrder）的操作过程如下：若二叉树为空，则什么也不做；否则

1. 打印根节点
2. 先序遍历左子树
3. 先序遍历右子树

接下来就是编写实现先序遍历的函数了。我们传入的是根节点，根据先序遍历的特点，不难发现先序遍历中，根节点一直都是先沿着左子树“勇往直前”，直到走到了尽头，再走右子树，如此循环往复，递归函数就具有这个特点。当走到一个结点的时候，我们就打印对应的元素。那么如何结束这个递归函数呢？之前说过，递归函数有递归入口和终止条件，入口已经有了，那么终止条件是什么呢？二叉树走到尽头，即结点的左右孩子都为NULL，那就表示已经到头了，直接返回即可。

因此有了下面的函数：

void perOrder(Node root) {   //传入二叉树根节点if (root == NULL) return;	//终止条件printf("%c", root->element);perOrder(root->left);perOrder(root->right);
}

最后在main函数中调用即可

int main() {//组装二叉树函数//...perOrder(a);
}

那么先序遍历我们了解完了，接着就是中序遍历了，中序遍历在顺序上与先序遍历不同，先序遍历是走到哪就打印到哪，而中序遍历需要先完成整个左子树的遍历后再打印，然后再遍历其右子树。

中序遍历

还是以上面的二叉树为例，首先需要先不断遍历左子树，走到最底部，但是沿途并不进行打印，而是到底之后，再打印，所以第一个打印的是D，接着由于没有右子树，所以我们回到B，此时再打印B，然后再去看B的右结点E，由于没有左子树和右子树了，所以直接打印E；左边遍历完成，接着回到A，打印A，然后对A的右子树重复上述操作。所以说遍历的基本规则还是一样的，只是打印值的时机发生了改变。

中序遍历（inOrder）的操作过程如下：若二叉树为空，则什么也不做；否则，

1. 中序遍历左子树
2. 打印结点
3. 中序遍历右子树

所以这棵二叉树的中序遍历结果为：DBEACF，我们可以发现一个规律，就是在某个结点的左子树中所有结点，其中序遍历结果也是按照这样的规律排列的，比如A的左子树中所有结点，中序遍历结果中全部都在A的左边，右子树中所有的结点，全部都在A的右边（这个规律很关键，后面在做一些算法题时会用到）。对应的递归算法如下：

void inOrder(Node root) {if (root == NULL) return;inOrder(root->left);printf("%c", root->element);inOrder(root->right);
}

后序遍历

接着我们来看一下后序遍历，后序遍历继续将打印的时机延后，需要等待左右子树全部遍历完成，才会去进行打印。

首先还是一路向左，到达结点D，此时结点D没有左子树了，接着看结点D还有没有右子树，发现也没有，左右子树全部遍历完成，那么此时再打印D，同样的，D完事之后就回到B了，此时接着看B的右子树，发现有结点E，重复上述操作，E结点没有左子树，也没有右子树，E也打印出来了；接着B的左右子树全部OK，那么再打印B，接着A的左子树就完事了，现在回到A，看到A的右子树，继续重复上述步骤，当A的右子树也遍历结束后，最后再打印A结点。

后序遍历（postOrder）的操作过程如下：若二叉树为空，则什么也不做；否则，

1. 后序遍历左子树
2. 后序遍历右子树
3. 打印结点

所以最后的遍历顺序为：DEBFCA，不难发现，整棵二叉树（包括子树）根结点一定是在后面的，比如A在所有的结点的后面，B在其子节点D、E的后面，这一点恰恰和前序遍历相反（注意不是得到的结果相反，是规律相反）

void postOrder(Node root) {if (root == NULL) return;postOrder(root->left);postOrder(root->right);printf("%c", root->element);
}

三种遍历算法中，递归遍历左、右子树的顺序都是固定的，只是访问根节点的顺序不同。不管采用哪种遍历算法，每个结点都访问一次，且仅访问一次，故时间复杂度都是$O(n)$。在递归遍历中，递归工作栈的栈深恰好为树的深度，所以在最坏的情况下，二叉树是有$n$个结点且深度为$n$的单支树，遍历算法的空间复杂度为$O(n)$。

层次遍历

  层次遍历如左图所示，即按照箭头所指方向，按照1,2,3,4 的层次顺序，对二叉树中的各个结点进行访问。
   要进行层次遍历，需要借助一个 队列。首先将二叉树根节点入队，然后出队，访问出队结点。若它右左子树，则将左子树根节点入队；若它有右子树，则将右子树根节点入队。完成入队后出队，访问出队结点……如此反复，直到队列为空。

二叉树的层次遍历算法如下：

void levelOrder(TNode root) {Queue queue;initQueue(&queue);EnQueue(&queue, root);  //根节点入队while (!isEmpty(&queue)) {      //不断重复，直到队列为空为止TNode node = DeQueue(&queue);//出队元素，并打印printf("%c", node->element);if (node->left)             //如果存在左还在，入队EnQueue(&queue, node->left);if (node->right)            //如果存在右孩子，入队EnQueue(&queue, node->right);}
}

温故而知新，这里顺带复习了一下队列的相关内容，建议自己手写（或手敲）下列的所有内容，加以巩固练习。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>typedef char E;
typedef struct TreeNode {E element;struct TreeNode *left, *right;
} TreeNode, *TNode;typedef TNode T;
typedef struct QueueNode {T element;struct QueueNode *next;
} QueueNode, *QNode;typedef struct Queue {QNode front, rear;
} Queue, *LinkedQueue;bool initQueue(LinkedQueue queue) {QNode node = malloc(sizeof(QueueNode));if (node == NULL) return 0;queue->front = queue->rear = node;return 1;
}bool EnQueue(LinkedQueue queue, T element) {QNode node = malloc(sizeof(QueueNode));if (node == NULL) return 0;node->element = element;queue->rear->next = node;queue->rear = node;return 1;
}bool isEmpty(LinkedQueue queue) {return queue->front == queue->rear;
}T DeQueue(LinkedQueue queue) {T e = queue->front->next->element;QNode node = queue->front->next;queue->front->next = queue->front->next->next;if (queue->rear == node)queue->rear = queue->front;free(node);return e;
}void levelOrder(TNode root) {Queue queue;initQueue(&queue);EnQueue(&queue, root);  //根节点入队while (!isEmpty(&queue)) {      //不断重复，直到队列为空为止TNode node = DeQueue(&queue);//出队元素，并打印printf("%c", node->element);if (node->left)             //如果存在左还在，入队EnQueue(&queue, node->left);if (node->right)            //如果存在右孩子，入队EnQueue(&queue, node->right);}
}int main() {TNode a = malloc(sizeof(TreeNode));TNode b = malloc(sizeof(TreeNode));TNode c = malloc(sizeof(TreeNode));TNode d = malloc(sizeof(TreeNode));TNode e = malloc(sizeof(TreeNode));TNode f = malloc(sizeof(TreeNode));a->element = 'A';b->element = 'B';c->element = 'C';d->element = 'D';e->element = 'E';f->element = 'F';a->left = b;a->right = c;b->left = d;b->right = e;c->right = f;c->left = NULL;d->left = d->right = NULL;e->left = e->right = NULL;f->left = f->right = NULL;levelOrder(a);
}

递归算法和非递归算法的转换

非递归的写法，需要使用循环，但是就比较麻烦了。我们需要使用栈来帮助我们完成（实际上递归写法本质上也是在利用栈），我们依然是从第一个结点开始，先走左边，每向下走一步，先输出节点的值，然后将对应的结点丢到栈中，当走到尽头时，表示左子树已经遍历完成，接着就是从栈中依次取出栈顶节点，如果栈顶结点有右子树，那么再按照同样的方式遍历其右子树，重复执行上述操作，直到栈清空为止。

• 一路向左，不断入栈，直到尽头
• 到达尽头后，出栈，看看有没有右子树，如果没有就继续出栈，直到遇到有右子树的为止
• 拿到右子树后，从右子树开始，重复上述步骤，直到栈清空

比如我们还是以上面的这棵树为例：

首先我们需要自己创建栈和相对应的数据结构：

typedef char E;
typedef struct TreeNode {E element;struct TreeNode *left, *right;
} TreeNode, *TNode;typedef TNode T;        //这里栈内元素类型定义为上面Node，也是二叉树结点指针
typedef struct StackNode {T element;struct StackNode *next;
} StackNode, *SNode;//非递归操作
void initStack(SNode head) {head->next = NULL;
}bool pushStack(SNode head, T element) {SNode node = malloc(sizeof(StackNode));if (node == NULL) return 0;node->element = element;node->next = head->next;head->next = node;return 1;
}bool isEmpty(SNode head) {return head->next == NULL;
}T popStack(SNode head) {SNode top = head->next;T e = head->next->element;head->next = head->next->next;free(top);return e;
}

创建完栈以后，接下来我们实现先序遍历的函数：

void perOrder(TNode root) {StackNode stack;initStack(&stack);while (root || !isEmpty(&stack)) {//栈为空且结点为 NULL 终止循环条件while (root) {//先不断遍历左子树，直到没有为止printf("%c", root->element);//打印当前结点元素值pushStack(&stack, root);//每经过一个结点，就将接待你放入栈中root = root->left;//继续遍历下一个左孩子结点}TNode node = popStack(&stack);//经过前面循环，左子树全部走完，接着走右子树root = node->right; //得到右孩子，重复上面的操作。// 如果没有右孩子，这里的 root 就被赋值为 NULL，下一轮循环直接跳过上面的 while，继续出站下一个结点找右子树}
}

注：在第一层 while 循环中调用isEmpty函数是因为防止到叶子结点的时候，其左右孩子都为空。当叶子结点的右孩子为空时，内层循环已经结束了，会调用外层的 while 循环，但是栈中可能还有其他元素，处于非空的状态。如果依然使用 root 判断，则会出错。

那么前序遍历我们了解完了，接着就是中序遍历了，中序遍历在顺序上与前序遍历不同，前序遍历是走到哪就打印到哪，而中序遍历需要先完成整个左子树的遍历后再打印，然后再遍历其右子树。

我们还是以上面的二叉树为例：首先需要先不断遍历左子树，走到最底部，但是沿途并不进行打印，而是到底之后，再打印，所以第一个打印的是D，接着由于没有右子树，所以我们回到B，此时再打印B，然后再去看B的右结点E，由于没有左子树和右子树了，所以直接打印E，左边遍历完成，接着回到A，打印A，然后对A的右子树重复上述操作。所以说遍历的基本规则还是一样的，只是打印值的时机发生了改变。

1. 中序遍历左子树
2. 打印结点
3. 中序遍历右子树

所以这棵二叉树的中序遍历结果为：DBEACF，我们可以发现一个规律，就是在某个结点的左子树中所有结点，其中序遍历结果也是按照这样的规律排列的，比如A的左子树中所有结点，中序遍历结果中全部都在A的左边，右子树中所有的结点，全部都在A的右边（这个规律很关键，后面在做一些算法题时会用到）

void inOrder(TNode root){StackNode stack;initStack(&stack);while (root || !isEmpty(&stack)) {       //栈为空且结点为 NULL 终止循环条件while (root) {//先不断遍历左子树，直到没有为止pushStack(&stack, root);//每经过一个结点，就将接待你放入栈中root = root->left;//继续遍历下一个左孩子结点}TNode node = popStack(&stack);//经过前面循环，左子树全部走完，接着走右子树printf("%c", node->element);//打印当前结点元素值root = node->right; //得到右孩子，重复上面的操作。// 如果没有右孩子，这里的 root 就被赋值为 NULL，下一轮循环直接跳过上面的 while，继续出站下一个结点找右子树}
}

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源代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>typedef char E;
typedef struct TreeNode {E element;struct TreeNode *left, *right;
} TreeNode, *TNode;typedef TNode T;        //这里栈内元素类型定义为上面Node，也是二叉树结点指针
typedef struct StackNode {T element;struct StackNode *next;
} StackNode, *SNode;//非递归操作
void initStack(SNode head) {head->next = NULL;
}bool pushStack(SNode head, T element) {SNode node = malloc(sizeof(StackNode));if (node == NULL) return 0;node->element = element;node->next = head->next;head->next = node;return 1;
}bool isEmpty(SNode head) {return head->next == NULL;
}T popStack(SNode head) {SNode top = head->next;T e = head->next->element;head->next = head->next->next;free(top);return e;
}void perOrder(TNode root) {StackNode stack;initStack(&stack);while (root || !isEmpty(&stack)) {       //栈为空且结点为 NULL 终止循环条件while (root) {          //先不断遍历左子树，直到没有为止printf("%c", root->element);    //打印当前结点元素值pushStack(&stack, root);    //每经过一个结点，就将接待你放入栈中root = root->left;      //继续遍历下一个左孩子结点}TNode node = popStack(&stack);    //经过前面循环，左子树全部走完，接着走右子树root = node->right; //得到右孩子，重复上面的操作。// 如果没有右孩子，这里的 root 就被赋值为 NULL，下一轮循环直接跳过上面的 while，继续出站下一个结点找右子树}
}void inOrder(TNode root){StackNode stack;initStack(&stack);while (root || !isEmpty(&stack)) {//栈为空且结点为 NULL 终止循环条件while (root) {//先不断遍历左子树，直到没有为止pushStack(&stack, root);//每经过一个结点，就将接待你放入栈中root = root->left;//继续遍历下一个左孩子结点}TNode node = popStack(&stack);//经过前面循环，左子树全部走完，接着走右子树printf("%c", node->element);//打印当前结点元素值root = node->right; //得到右孩子，重复上面的操作。// 如果没有右孩子，这里的 root 就被赋值为 NULL，下一轮循环直接跳过上面的 while，继续出站下一个结点找右子树}
}int main() {TNode a = malloc(sizeof(TreeNode));TNode b = malloc(sizeof(TreeNode));TNode c = malloc(sizeof(TreeNode));TNode d = malloc(sizeof(TreeNode));TNode e = malloc(sizeof(TreeNode));TNode f = malloc(sizeof(TreeNode));a->element = 'A';b->element = 'B';c->element = 'C';d->element = 'D';e->element = 'E';f->element = 'F';a->left = b;a->right = c;b->left = d;b->right = e;c->right = f;c->left = NULL;d->left = d->right = NULL;e->left = e->right = NULL;f->left = f->right = NULL;perOrder(a);printf("\n");inOrder(a);
}

注：源代码部分均可以运行，复制粘贴即可。

线索二叉树

目的：引入线索二叉树正是为了加快查找结点前驱和后继的速度。

普通二叉树如何查找前驱和后继结点呢？

1. 确定需要找到的结点p。
2. 申请两个结点q和pre，首先q指向第一个结点，而pre指向null，然后遍历二叉树，q指向下一个结点（根据先序、中序和后续的顺序），pre指向q刚刚指向的结点。如此循环往复，直到q指向p
3. 当p和q指针重合时，pre指向p的前驱结点。当pre和p指针重合时，q指向p的后继结点。

实质上还是二叉树的遍历。当一个操作中需要反复寻找某个结点的前驱或者后继时，这样的操作明显效率比较低。因此我们需要一种可以加快查找结点前驱和后继的速度的方法，从而引入了线索二叉树。

二叉链表

typedef int Element;
//二叉树的结点（链式存储）
typedef struct BiTNode {Element data;struct BiTNode *lchild, *rchild;
} BiTNode, *BiTNode;

线索链表

typedef int Element;
//线索二叉树结点
typedef struct ThreadNode {Element data;struct BiTNode *lchild, *rchild;int ltag, rtag;     //左、右线索标志
} ThreadNode, *ThreadTree;

tag == 0：表示指针指向孩子

Tag == 1：表示指针是“线索”

中序线索二叉树的存储

二叉树的线索化

王道教材版本

//中序线索化
void InThread(ThreadTree p, ThreadTree &pre){if(p != NULL){InThread(p->lchild, pre);     //递归，线索化左子树if(p->lchild == NULL){p->lchild = pre;p->ltag = 1;}if(pre != NULL && pre->rchild == NULL){pre->rchild = p;pre->rtag = 1;}pre = p;InThread(p->rchild, pre);}
}//中序线索化二叉树T
void CreateInThread(ThreadTree T){ThreadTree pre = NULL;if(T != NULL){          //非空二叉树，线索化InThread(T, pre);     //线索二叉树pre->rchild = NULL; //处理遍历的最后一个结点pre->rtag = 1;}
}

课程版本

//中序线索化typedef char Element;
//线索二叉树结点
typedef struct ThreadNode {Element data;struct ThreadNode *lchild, *rchild;int ltag, rtag;
} ThreadNode, *ThreadTree;//全局变量 pre，指向当前访问结点的前驱
ThreadNode *pre = NULL;void visit(ThreadNode *q) {if (q->lchild == NULL) { //左子树为空，建立前驱线索q->lchild = pre;q->ltag = 1;}if (pre != NULL && pre->rchild == NULL) {pre->rchild = q;    //建立前驱结点的后继线索pre->rtag = 1;}pre = q;
}void  InThread(ThreadTree T){if(T != NULL){InThread(T->lchild);        //中序遍历左子树visit(T);                   //访问根结点InThread(T->rchild);        //中序遍历右子树}
}void CreateInThread(ThreadTree T){pre = NULL;                 //pre初始为NULLif(T != NULL){              //非空二叉树才能线索化InThread(T);            //中序线索化二叉树if (pre->rchild == NULL){pre->rtag = 1;      //处理遍历的最后一个结点}}
}

线索二叉树 找前驱/后继

树和森林

树的存储

1. 双亲表示法

   这种结构采用一组连续空间来存储每个结点，同时在每个结点中增设一个伪指针，指示其双亲结点在数组中的位置。

   

   双亲表示法的存储结构描述如下：

   #define MAX_TREE_SIZE 100      //树中最多结点数
   typedef int element;typedef struct {        //树的结点定义element data;       //数据元素int parent;         //双亲位置域
   } PTNode;typedef struct {        //树的类型定义PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];    //双亲表示int n;                          //结点数
   } PTree;
   

   优点：可以很快地得每个结点的双亲结点。

   缺点：求结点的孩子时则需要遍历整个结构。

2. 孩子表示法

   将每个结点的孩子结点都用单链表连接起来形成一个线性结构。

   

   优点：寻找子女的操作非常直接。

   缺点：寻找双亲的操作需要遍历n个结点中孩子链表指针域所指向的n个孩子链表。

3. 孩子兄弟表示法

   即以二叉链表作为树的存储结构

树与二叉树的应用

哈夫曼树和哈夫曼编码

定义：树中结点常常被赋予一个表示某种意义的数值，称为该结点的权。从树到热一结点的路径长度与该结点上权值的乘积，称为该结点的带权路径长度。树中所有叶结点的带权路径长度之和称为该树的带权路径长度，记为
$$WPL=\sum _{i=1}^n{w}_i{l}_i$$
其中，$w_i$表示第$i$个叶结点所带的权值，$l_i$是该叶结点到根结点的路径长度。

哈夫曼树构造的特点：

1. 每个初始结点最终都成为叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大。
2. 构造过程中共新建了$n-1$个结点（双分支结点），因此哈夫曼树的结点总数为$2n-1$。
3. 每次构造都选择$2$棵树作为新结点的孩子，因此哈夫曼树中不存在度为$1$的结点。

并查集

习题总结

⚠️判断完全二叉树$n_1$的值$\iff n$
$$\begin{gathered} n_0+n_1+n_2=总结点n \\ {n}_1=0/1 \\ {n}_0=n_2+1 \end{gathered}$$
由完全二叉树的性质可知，度为 1 的结点要么只有一个，要么就没有。

结合$n_0=n_2+1$公式可知：如果$n_0$为偶数$\Rightarrow n_2$为奇数；如果$n_0$为奇数$\Rightarrow n_2$为偶数；所以$n_0+n_2$一定为奇数。

用上面解释可知：$n=n_0+n_1+n_2$的奇偶性与$n_1$有关。然而$n_1=0/1$。

如果$n_1=0$，那么$n$为奇数；如果$n_1=1$，那么$n$为偶数；反之如果$n$为偶数，那么$n_1=1$；如果$n$为奇数，那么$n_1=0$。

$eg:$一棵完全二叉树上有 1001 个结点，其中叶结点的个数是$(D)$

$A.250$ $B.500$ $C.254$ $D.501$

解：$n=1001$为奇数，则$n_1=0$，那么$n=n_0+n_1+n_2=n_0+n_2=n_0+(n_0-1)=2n_0-1=1001$，解得$n=501$。

$eg:$【2016年全国试题】若森林F有15条边、25个结点，则F包含树的个数是$（C）$

$A.8$ $B.9$ $C.10$ $D.11$

解：树的结点数n，边数（分支数）B有确定的关系$n=B+1$，森林是不相交的树的集合，则森林的结点数$F_n=\sum T_i=\sum (B_i+1)$，其中$T_i$就是森林中第$i$棵树的结点数，$B_I$是森林中第$i$棵树的分支。设森林中有$m$棵树，则$F_n=\sum B_i+m$，即$25=15+m$，即森林中有10棵树。