【电路笔记】-交流电阻和阻抗

交流电阻和阻抗

电阻是一种特性，用于表征当电压差施加到其端子时，特定组件如何对电流产生阻力。 在本文中，我们将重点关注施加交流电压时电阻器产生的阻力。

在第一部分中，为了进一步了解欧姆定律，我们做了一个简单的演示，详细介绍了电阻和电阻器组件的概念。 我们将在第二节中看到交流状态和直流状态下的电阻之间的行为相似性。

剩余的部分将重点介绍导致电阻器的交流和直流电阻之间存在差异的两种现象，特别是当频率增加时。

1、概述：电阻率

在本节中，我们将更清楚地定义阻力是什么以及它取决于什么。 正如标题所示，主要概念称为电阻率。 让我们考虑一种横截面为 A、长度为 L、具有两个端子的平行六面体材料，如图 1 所示：

图1：带电触点的电阻器

电阻率 $\rho$ 以 $\Omega .m$ 表示，它是材料的固有属性。 这意味着电阻率不依赖于几何形状。 任何材料的电阻率值都可以轻松地在在线表格或书籍中找到。

此外，电阻率是罕见的变化如此之多的数量级的物理量之一。 例如，铜是电阻较小的材料之一，其电阻率为${\rho }_{copper}=1.7\times 10-8\Omega .m$。 另一方面，特氟龙是电阻率最高的材料之一，电阻率${\rho }_{Teflon}>10^{23}\Omega .m$。

对于特定的几何形状，如图 1 所示，电阻率和电阻 $R$通过公式1中给出的以下公式联系起来：

公式1：电阻的定义

我们可以用这个公式来理解电阻如果受到几何形状和材料固有电阻率的影响：

• 如果长度增加，电子必须穿过电阻更大的材料，因此电阻增加。
• 如果横截面减小，电子可用的路径就会减少（例如简单的道路或 4 车道高速公路），因此电阻会增加。
• 如果电阻率增加，则材料本质上电阻更大，因此电阻再次增加。

电阻器通常由陶瓷或碳粉制成，电阻率为${\rho }_{carbon}\cong 10-3\Omega .m$。 例如，如果我们选择比率 $L/A=1000$，我们会得到几欧姆的电阻。

2、交流状态与直流状态近似性

在直流状态下，电阻器产生的电阻非常容易描述，可以用欧姆定律来描述。 电压 V 和电流 I 之间存在线性关系，其中这两个量通过称为电阻的因子 $R$ 联系起来，例如 $U=R\times I$。

图2：施加到电阻器上的直流电压的示意图

那么，如果我们将图 2 中的直流电源替换为交流电源，会发生什么情况呢？ 欧姆定律仍然适用吗？

答案很简单，在正常的频率和幅度（不太高）条件下，电阻器的行为与直流状态下完全相同。 因此，电阻的复阻抗是实数$Z=R+j\times 0=U/I$。

在直流状态下，加热产生的功率由电压和电流的乘积给出：$P=U\times I$。 对于瞬时功率的交流状态也是如此：$P(t)=U(t)\times I(t)$。 然而，焦耳加热所消耗的平均功率 $P_{avg}$ 更值得关注。 $P_{avg}$的公式如下面的公式 2 所示，其中 $\varphi$ 表示电压和电流之间的相移：

公式2：平均功率的表达式

由于电阻的阻抗是实数，我们可以参考复数教程来理解相移Φ等于0。 下标“RMS”表示均方根，其定义在交流波形和交流电路理论有完整解释。

对于纯电阻电路的特殊情况，平均功率的表达式因此简化为$P_{avg}=U_{RMS}\times I_{RMS}$。

3、交流状态与直流状态的差异性

我们在最后一节中指出了当交流电源的频率大幅增加时，与直流电阻相比，交流电阻会发生变化的两种效应。 本节分为两个小节来独立处理这些现象。

3.1 趋肤效应(The Skin Effect)

在谈论这个现象之前，我们需要先了解一下它的起源。 第一个效应是由于我们在交流波形和交流电路理论中提到的电磁感应定律造成的。

感应定律或楞次定律指出，考虑到可变磁场 $B_1(t)$ 穿过的闭合电路 $C$，会产生电流 $I$，以产生相反的磁场 $B_2(t)$，以缓和 $B_1(t)$的变化。

图3：感应现象示意图

这种电磁效应广泛存在于许多技术中，并且可以以不同的方式使用，这就是电感器、涡轮机、变压器或电磁炉的工作原理。

现在让我们回到如图1所示的电阻材料。与交变磁场生成电流环路的方式相同，交变电流 $I(t)$ 也会生成磁环 $B(t)$。 由于磁环是在电阻材料内生成的，因此会产生如图3所示的电流环。 这些电流环路有一个特定的名称：它们被称为涡流(Eddy Currents)或傅科电流( Foucault Currents)。

图4：趋肤效应示意图

此类电流集中在电阻材料的边界处，如上图 4 所示。 当交流电$I(t)$ 的频率增加时，这种称为集肤效应的现象往往变得更加重要。

描述趋肤效应的最重要参数称为趋肤深度，并记为 $\delta$。 它表示从大部分涡流集中的电阻材料边界开始的厚度。

该值与 $1/\sqrt{f}$ 成正比，其中 $f$ 是频率。 因此，增加频率往往会减少趋肤深度。 当交流电的频率变得非常高时，大部分电流位于电阻材料边界附近的小区域内，如图 5 所示：

图5：集肤深度和电流分布曲线的描述

材料的有效横截面 A 变得更小，因此，根据公式1，电阻增加。

对于特定的频率值（取决于材料），与直流电阻相比，集肤效应倾向于增加交流电阻：$R_{AC}>R_{DC}$。

3.2 靠近效应（The Proximity Effect）

电磁感应也是另一种称为靠近效应的效应的原因，这种效应会极大地影响电路的交流电阻。 当两个或多个附近的导体承载电流时，就会观察到靠近效应。

为了简单起见，我们考虑两条平行电线 $W_1$ 和 $W_2$ 承载相同的交流电流 I(t)。 如果电流的频率足够高，$W_1$（也由 $W_2$，但未在图 6 中表示）将在自身周围产生磁环 $B(t)$。 如果导线足够近，磁环将穿过第二根导线并在 $W_2$ 中产生涡流（如前所述）：

图6：靠近效应示意图

由于效果是对称的，$W_2$ 也会在 $W_1$中感应出涡流。 对于本例，当前浓度分布如下图7 所示：

图7：由于靠近效应引起的电流分布

例如，对于趋肤效应，靠近效应是电阻材料内电流分布改变的结果，这种改变往往会通过减小有效横截面来增加电阻。 当频率增加时，这种效应也会增强，并可能导致交流电阻和直流电阻之间出现一个或多个数量级的差异。

4、总结

本文重点讨论直流和交流状态下电阻材料的电阻值之间的相似性和差异。

• 首先，我们通过介绍电阻率的概念来介绍电阻到底由什么组成。 我们已经看到，电阻取决于这种固有属性以及所考虑材料的几何形状。
• 在第二部分中，我们研究正常工作条件（频率不太高）下的交流电阻。 欧姆定律可以应用于交流电制，例如直流电制。 此外，由于没有观察到相移，因此功率的表达式与使用电压和电流量的 RMS 值的直流状态相似。
• 在上一节中，两个现象指出了这样一个事实：当频率增加时，交流电阻会比直流电阻高得多。
• 第一种效应称为趋肤效应，是由于导体边界附近电流的重新分布造成的。 这会减小电流通过的有效横截面，从而增加电阻。
• 第二个效应是靠近效应，当两个附近的导体同时承载频率足够高的交流电时，就会发生这种效应。 它还会导致靠近其边界之一的两个导体内的电流重新分布，这与趋肤效应类似，会增加电线的电阻。
• 然而，只有当频率非常高时，这些效应才会开始对电路产生很大影响。 例如，在 50 Hz 时，铜线的半径不需要宽于 8 毫米，因为该频率下的集肤深度约为 9 毫米。 在 10 MHz 时，该深度变为约 21 μm，这对于宽度可降至 10 μm 的印刷电路板 (PCB) 来说仍然不是设计问题。 我们可以说，在 100 MHz 以上，与该深度相关的趋肤效应和靠近效应会限制正确设计电路。