数据结构详细笔记——二叉树

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二叉树的定义和基本术语

二叉树的基本概念

二叉树是n（n>=0）个结点的有限集合
①或者为空的二叉树，即n=0
②或者由一个根结点和两个互不相交的被称为根的左子树和右子树组成，左子树和右子树又分别是一颗二叉树

特点：
1、每一个结点至多只有两棵子树
2、左右子树不能颠倒（二叉树是有序树）

注意区别：度为2的有序树与二叉树的区别
度为2的树：肯定是非空树，所有结点的度<=2，至少有一个结点的度为2
二叉树：可以为空树，所有的结点只要<=2就可

特殊的二叉树

满二叉树

定义：一颗高度为n，且有 2ⁿ-1 个结点的二叉树

特点：
1、只有最后一层有叶子结点
2、不存在度为1的结点（只存在度为0或者2的结点）
3、按层序从1开始编号，结点 i 的左孩子为 2i，右孩子为 2i+1，结点 i 的父节点为 ⌊ i/2 ⌋；

完全二叉树

定义：当且仅当其每个结点都与高度为 h 的满二叉树中的编号为 1~n 的结点一一对应时，称为完全二叉树

特点：
1、只有最后两层有叶子结点
2、最多只有一个度为1的结点
3、按层序从1开始编号，结点 i 的左孩子为 2i，右孩子为 2i+1，结点 i 的父节点为 ⌊ i/2 ⌋；（如果有的话）
4、i <= ⌊ n/2 ⌋ 为分支结点，i > ⌊ n/2 ⌋ 为叶子结点

如果某结点只有一个孩子，那么这个孩子一定是左孩子

二叉排序树

定义：一颗二叉树或者空二叉树具有如下性质的称为二叉排序树
1、左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字
2、右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字
3、左子树和右子树又各是一棵二叉排序树

二叉排序树可用于元素的排序和搜索

平衡二叉树

定义：树上任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1

平衡二叉树能有更高的搜索效率

二叉树的常考性质

考点一：设非空二叉树中度为0、1、2的结点个数分别为n0、n1、n2，则 n0 = n2 + 1; ( 叶子结点比二分支结点多一个 )

假设树中结点总数为n，则
① n = n0 + n1 +n2
② n = n1 + 2*n2 + 1 （树的结点数 = 总度数 + 1）
②-①得 n0 = n2 + 1

考点二：二叉树第 i 层至多有 2ⁱ⁻¹ 个结点（i>=1）
源于: m 叉树第 i 层至多有 mⁱ⁻¹ 个结点（i>=1）

考点三：高度为 n 的二叉树至多有 2ⁿ - 1 个结点（满二叉树）
源于: 高度为 n 的 m 叉树至多有 mⁿ - 1/m-1 个结点

完全二叉树的常考性质

常考考点2：对于完全二叉树，可以由结点数 n 推出度为0、1、2的结点个数为n0、n1、n2
完全二叉树最多只有一个度为1的结点，所以
n1 = 0或1
n0 = n2 + 1 ----> n0 + n2 = 2*n2 + 1 一定是奇数

若完全二叉树有 2k 个（偶数）个结点，则 n = n1 + n2 + n3，由上面得 n0 + n2 一定是奇数，所以只有 n1 = 1 时， n 才会是偶数
所以 n1 = 1，n0 = k，n2 = k-1

若完全二叉树有 2k-1 个（奇数）个结点，则 n = n1 + n2 + n3，由上面得 n0 + n2 一定是奇数，所以只有 n1 = 0 时， n 才会是奇数
所以 n1 = 0，n0 = k，n2 = k-1

二叉树的存储结构

顺序存储

定义一个长度为 MaxSize 的数组t，按照从上至下，从左至右的顺序依次存储完全二叉树中的各个结点

#define MaxSize 100
struct TreeNode{ElemType value;   // 结点中的数据元素bool isEmpty;     // 结点是否为空
}// 初始化时所有结点标记为空
for(int i = 0; i < MaxSize; i++){t[i].isEmpty = true;
}TreeNode t[MaxSize]

几个重要的常考的基本操作
i 的左孩子 ———— 2i
i 的右孩子 ———— 2i+1
i 的父节点 ———— ⌊ i/2 ⌋
i 所在的层次 ————

若完全二叉树中共有n个结点，则
判断 i 是否有左孩子？ ———— 2i <= n
判断 i 是否有右孩子？ ———— 2i+1 <= n
判断 i 是否是叶子/分支结点？ ———— i > ⌊ n/2 ⌋

注意：如果不是完全二叉树，依然按照层序将各个结点顺序存储，那么无法从结点编号反映出以上这些逻辑关系，所以一定要把二叉树的结点编号与完全二叉树对应起来，但是会导致出现很多空值的存储单元

最坏情况：高度为 n 且只有 n 个结点的单支树（所有结点只有右孩子），也至少需要 2ⁿ - 1 个存储单元

结论：二叉树的顺序存储结构，只适合存储完全二叉树

链式存储

typedef struct BiTNode{ElemType data;struct BiTNode *lchild,*rchild;  // 左右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;

假设有n个结点，则有2n个指针域，除了根结点，每一个结点头上都会连接一个指针域，那么就有n-1个有值的指针域，得出就会有n+1个空指针域
n个结点的二叉链表共有n+1个空链域

根据实际需求决定要不要加父结点指针（三叉链表——方便找父结点）

typedef struct BiTNode{ElemType data;struct BiTNode *lchild,*rchild;  // 左右孩子指针struct BiTNode *parent;          // 父结点指针
}BiTNode,*BiTree;

二叉树的先中后序遍历

1. 先序遍历：根左右
2. 中序遍历：左根右
3. 后序遍历：左右根

其中这三种遍历方式与前中后缀表达式的关系
先序遍历——>前缀表达式
中序遍历——>中缀表达式（需要加界限符）
后序遍历——>后缀表达式

先序遍历（空间复杂度：O（h））

void PreOrder(BiTree T){if(T!=NULL){visit(T);     //访问根结点PreOrder(T->lchild);   // 递归遍历左子树PreOrder(T->rchild);   // 递归遍历右子树}
}

中序遍历

void PreOrder(BiTree T){if(T!=NULL){PreOrder(T->lchild);   // 递归遍历左子树visit(T);     //访问根结点PreOrder(T->rchild);   // 递归遍历右子树}
}

后序遍历

void PreOrder(BiTree T){if(T!=NULL){PreOrder(T->lchild);   // 递归遍历左子树PreOrder(T->rchild);   // 递归遍历右子树visit(T);     //访问根结点}
}

应用

求树的深度

int treeDepth(BiTree T){if(T == NULL)return 0;else{int l = treeDepth(T->lchild);int r = treeDepth(T->rchild);// 树的深度=Max(左子树深度，右子树深度) + 1return l>r ? l+1 : r+1;}
}

二叉树的层序遍历

算法思想：
①初始化一个辅助队列
②根结点入队
③若队列非空，则队头结点出队，访问该结点，并将其左、右孩子插入队尾（如果有的话）
④重复③直至队列为空

// 二叉树的结点（链式存储）
typedef struct BiTNode{char data;struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,*BiTree;// 链式队列结点
typedef struct LinkNode{BiTNode *data;  // 存指针，而不是结点struct LinkNode *next;
}LinkNode;typedef struct{LinkNode *front,*rear;  // 队头队尾
}LinkQueue;// 层序遍历
void LevelOrder(BiTree T){LinkQueue(Q);InitQueue(Q);  // 初始化辅助队列BiTree p;EnQueue(Q,T);  // 将根结点入队while(!IsEmpty(Q)){DeQueue(Q,p);  // 队头结点出队visit(p);       // 访问出队结点if(p->lchild!=NULL)EnQueue(Q,(p->lchild);  // 左孩子入队if(p->rchild!=NULL)EnQueue(Q,(p->rchild);  // 右孩子入队}
}

由遍历序列构造二叉树

若只给出一颗二叉树的前中后序遍历序列中的一种，不能唯一确定一棵二叉树
能构造二叉树的遍历序列组合
1、前序+中序
2、后序+中序
3、层序+中序

线索二叉树

问题1：如何找到指定结点在中序遍历序列中的前驱？
问题2：如何找到结点的中序后继？
找前驱和后继很不方便，遍历操作必须从根开始

还记得之前学到的，n个结点的二叉树，有n+1个空链域，可以用来记录前驱、后继的信息

线索二叉树的存储结构

typedef struct ThreadNode{ElemType data;struct ThreadNode *lchild,*rchild;int ltag,rtag;    // 左右线索标志
}ThreadNode,*ThreadTree;
// tag=0 表示指针指向孩子
// tag=1 表示指针是线索

二叉树的线索化

中序线索化

// 线索二叉树结点
typedef struct ThreadNode{ElemType data;struct ThreadNode *lchild,*rchild;int ltag,rtag;    // 左右线索标志
}ThreadNode,*ThreadTree;void visit(ThreadNode *q){if(q->lchild==NULL){ //左子树为空，建立前驱线索q->lchild=pre;q->ltag=1;}if(pre!=NULL&&pre->rchild==NULL){ //前驱结点的右孩子为空，建立前驱结点的后驱线索pre->rchild=q;pre->rtag=1;}pre=q;
}//中序遍历二叉树，一边遍历一边线索化
void InThread(ThreadTree T){if(T!=NULL){InThread(T->lchild);  // 中序遍历左子树visit(T);             // 访问根结点InThread(T->rchild);  // 中序遍历右子树}
}// 全局变量 pre，指向当前访问结点的前驱
ThreadNode *pre=NULL;// 中序线索化二叉树T
void CreateInThread(ThreadTree T){pre=NULL;   // pre初始化为NULLif(T!=NULL){InThread(T)  //中序线索化二叉树if(pre->rchild==NULL)pre->rtag=1;  // 处理遍历的最后一个点}
}

先序线索化（与中序遍历有一点不一样：为了防止重复指向，需要判断lchild不是前驱线索）

// 线索二叉树结点
typedef struct ThreadNode{ElemType data;struct ThreadNode *lchild,*rchild;int ltag,rtag;    // 左右线索标志
}ThreadNode,*ThreadTree;void visit(ThreadNode *q){if(q->lchild==NULL){ //左子树为空，建立前驱线索q->lchild=pre;q->ltag=1;}if(pre!=NULL&&pre->rchild==NULL){ //前驱结点的右孩子为空，建立前驱结点的后驱线索pre->rchild=q;pre->rtag=1;}pre=q;
}//先序遍历二叉树，一边遍历一边线索化
void PreThread(ThreadTree T){if(T!=NULL){visit(T);             // 访问根结点if(T->ltag==0){         // 与中序遍历不一样的地方，为了防止重复指向，需要判断lchild不是前驱线索PreThread(T->lchild);  // 与中序遍历不一样的地方，为了防止重复指向，需要判断lchild不是前驱线索PreThread(T->rchild);}
}// 全局变量 pre，指向当前访问结点的前驱
ThreadNode *pre=NULL;// 先序线索化二叉树T
void CreateInThread(ThreadTree T){pre=NULL;   // pre初始化为NULLif(T!=NULL){InThread(T)  //先序线索化二叉树if(pre->rchild==NULL)pre->rtag=1;  // 处理遍历的最后一个点}
}

后序线索化（和中序差不多）

// 线索二叉树结点
typedef struct ThreadNode{ElemType data;struct ThreadNode *lchild,*rchild;int ltag,rtag;    // 左右线索标志
}ThreadNode,*ThreadTree;void visit(ThreadNode *q){if(q->lchild==NULL){ //左子树为空，建立前驱线索q->lchild=pre;q->ltag=1;}if(pre!=NULL&&pre->rchild==NULL){ //前驱结点的右孩子为空，建立前驱结点的后驱线索pre->rchild=q;pre->rtag=1;}pre=q;
}//后序遍历二叉树，一边遍历一边线索化
void InThread(ThreadTree T){if(T!=NULL){InThread(T->lchild);  // 后序遍历左子树InThread(T->rchild);  // 后序遍历右子树visit(T);             // 访问根结点}
}// 全局变量 pre，指向当前访问结点的前驱
ThreadNode *pre=NULL;// 后序线索化二叉树T
void CreateInThread(ThreadTree T){pre=NULL;   // pre初始化为NULLif(T!=NULL){InThread(T)  //后序线索化二叉树if(pre->rchild==NULL)pre->rtag=1;  // 处理遍历的最后一个点}
}

二叉树的线索化

中序线索二叉树中找到指定结点*p的中序后继next
① 若 p->rtag=1, 则 next = p->rchild
② 若 p->rtag=0, 则 next = p的右子树中最左下结点

// 找到以p为根的子树中，第一个被中序遍历的结点
ThreadNode *Firstnode(ThreadNode *p){// 循环找到最左下结点（不一定是叶结点）while(p->ltag==0) p=p->lchild;return p;
}// 在中序线索二叉树中找到结点p的后继结点
ThreadNode *Nextnode(ThreadNode *p){// 右子树下最左的结点if(p->rtag==0) return Firstnode(p->rchild);esle return p->rchild;   // rtag ==1 直接返回后继线索
}// 对中序线索二叉树进行中序遍历（利用线索实现的非递归算法）空间复杂O（1）
void Inorder(TreadNode *T){for(ThreadNode *p=Firstnode(T);p!=NULL;p=Nextnode(p)){visit(p);}
}

中序线索二叉树中找到指定结点*p的中序前驱pre
① 若 p->ltag=1, 则 pre= p->rchild
② 若 p->rlag=0, 则 pre= p的左子树中最右下结点

// 找到以p为根的子树中，最后一个被中序遍历的结点
ThreadNode *Lastnode(ThreadNode *p){// 循环找到最左下结点（不一定是叶结点）while(p->rtag==0) p=p->rchild;return p;
}// 在中序线索二叉树中找到结点p的前驱结点
ThreadNode *Prenode(ThreadNode *p){// 左子树中最右下结点if(p->ltag==0) return Lastnode(p->lchild);esle return p->lchild;   // ltag ==1 直接返回前驱线索
}// 对中序线索二叉树进行逆向中序遍历
void RevInorder(TreadNode *T){for(ThreadNode *p=Lastnode(T);p!=NULL;p=Prenode(p)){visit(p);}
}

在先序线索二叉树中找到指定结点*p的先序后继next
① 若 p->rtag=1, 则 next = p->rchild
② 若 p->rtag=0,
1、若p有左孩子，则先序后继为左孩子
2、若p没有左孩子，则先序后继为右孩子

在先序线索二叉树中找到指定结点*p的先序前驱pre
① 若 p->ltag=1, 则 next = p->lchild
② 若 p->ltag=0, 需要从头开始遍历

在后序线索二叉树中找到指定结点*p的后序前驱pre
① 若 p->ltag=1, 则 pre= p->lchild
② 若 p->ltag=0,
1、若p有右孩子，则后序前驱为右孩子
2、若p没有右孩子，则后序前驱为左孩子

在后序线索二叉树中找到指定结点*p的后序后继next
① 若 p->rtag=1, 则 next = p->rchild
② 若 p->rtag=0, 需要从头开始遍历