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C++二分查找算法的应用：俄罗斯套娃信封问题

news 2026/2/11 4:43:30

本文涉及的基础知识点

二分查找

题目

给你一个二维整数数组 envelopes ，其中 envelopes[i] = [wi, hi] ，表示第 i 个信封的宽度和高度。
当另一个信封的宽度和高度都比这个信封大的时候，这个信封就可以放进另一个信封里，如同俄罗斯套娃一样。
请计算最多能有多少个信封能组成一组“俄罗斯套娃”信封（即可以把一个信封放到另一个信封里面）。
注意：不允许旋转信封。
示例 1：
输入：envelopes = [[5,4],[6,4],[6,7],[2,3]]
输出：3
解释：最多信封的个数为 3, 组合为: [2,3] => [5,4] => [6,7]。
示例 2：
输入：envelopes = [[1,1],[1,1],[1,1]]
输出：1
参数提示：
1 <= envelopes.length <= 105
envelopes[i].length == 2
1 <= wi, hi <= 105

超时解法

有两个地方可能超时：
一，std::map<int, int> dp = mPreYToNum;
二，for (; (ij != dp.end()) && (ij->second > len); ++ij);
一处的时间复杂度是:O(n)，最多有n个元素，所以总时间复杂度是O(n*n)，会引起超时。
二处，总时间复杂度是O(n)，最多删除n次，每个元素最多只会被删除一次。

代码

class Solution {
public:
int maxEnvelopes(vector<vector>& envelopes) {
std::map<int, vector> mXToYS;
for (const auto& v : envelopes)
{
mXToYS[v[0]].emplace_back(v[1]);
}
std::map<int, int> mPreYToNum;//y值对应最大数量，y值越大，对应的数量越大，否则被淘汰了
int iMax = 0;
for (const auto& it : mXToYS)
{
std::map<int, int> dp = mPreYToNum;
for (const auto& y : it.second)
{
int len = 0;
{//计算长度
const auto it = mPreYToNum.lower_bound(y);
len = 1 + ((mPreYToNum.begin() == it) ? 0 : std::prev(it)->second);
iMax = max(iMax, len);
}
{
const auto it = dp.lower_bound(y);
auto ij = it;
for (; (ij != dp.end()) && (ij->second > len); ++ij);
dp.erase(it, ij);
if (!dp.count(y))
{
dp[y] = len;
}
}
}
mPreYToNum.swap(dp);
}

	return iMax;
}

};

测试用例

template
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}

template
void Assert(const vector& v1, const vector& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
Assert(v1[i] ,v2[i]);
}
}

int main()
{
Solution slu;
vector<vector> envelopes;
int res = 0;
envelopes = { {5,4},{6,4},{6,7},{2,3} };
res = slu.maxEnvelopes(envelopes);
Assert(res, 3);
envelopes = { {1,1},{1,1},{1,1} };
res = slu.maxEnvelopes(envelopes);
Assert(res, 1);
envelopes = { {1,1},{2,2},{2,3} };
res = slu.maxEnvelopes(envelopes);
Assert(res, 2);
envelopes = { {1,2},{2,3},{3,4},{3,5},{4,5},{5,5},{5,6},{6,7},{7,8} };
res = slu.maxEnvelopes(envelopes);
Assert(res, 7);

//CConsole::Out(res);

}

正确解法

变量含义


mXToYS	key为envelopes的x，值为envelopes的y
mYToNum	[x取[0,x)， y对应最大套娃数量
vector<pair<int, int>> vYNum	当前x，各y对应数量

注意：

x相同，无法套娃，所以必须等当前x处理完毕，才能更新mYToNum。
y值越大，对应的数量越大，否则被淘汰了。所以mYToNum的键和值都是升序。
y小于当前y的，不会淘汰当前y，因为当前长度就是小于y的最大长度+1。
所以只会被相等的y淘汰。
当前y 可能淘汰比当前y大的。

代码

class Solution {
public:
int maxEnvelopes(vector<vector>& envelopes) {
std::map<int, vector> mXToYS;
for (const auto& v : envelopes)
{
mXToYS[v[0]].emplace_back(v[1]);
}
std::map<int, int> mYToNum;//y值对应最大数量
int iMax = 0;
for (const auto& it : mXToYS)
{
vector<pair<int, int>> vYNum;
for (const auto& y : it.second)
{
const auto it = mYToNum.lower_bound(y);
const int num = 1 + ((mYToNum.begin() == it) ? 0 : std::prev(it)->second);
iMax = max(iMax, num);
vYNum.emplace_back(y, num);
}
for(const auto[y,num]: vYNum)
{
const auto it = mYToNum.lower_bound(y);
auto ij = it;
for (; (ij != mYToNum.end()) && (ij->second <= num); ++ij);
mYToNum.erase(it, ij);
if (!mYToNum.count(y))
{
mYToNum[y] = num;
}
}
}
return iMax;
}
};

2023年1月旧代码

class Solution {
public:
int maxEnvelopes(vector<vector>& envelopes) {
std::map<int, vector> mWidthToHeights;
for (const auto& v : envelopes)
{
mWidthToHeights[v[0]].push_back(v[1]);
}
int iMax = 1;
std::map<int, int> mHeightNum;
for ( auto& it : mWidthToHeights)
{
sort(it.second.begin(), it.second.end(),std::greater());
for (auto& height : it.second)
{
auto it = mHeightNum.lower_bound(height);
int iNum =1;
if (mHeightNum.begin() != it)
{//没有套
auto ij = it;
–ij;
iNum = ij->second + 1;
}
iNum = max(iNum,mHeightNum[height]);
auto ij = it;
while ( (ij != mHeightNum.end())&& ( ij->second < iNum))
{
ij++;
}
mHeightNum.erase(it, ij);
mHeightNum[height] = max(mHeightNum[height], iNum);
iMax = max(iMax, mHeightNum[height]);
}
}
return iMax;
}
};

扩展阅读

视频课程

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墨家名称的来源：有所得以墨记之。
算法终将统治宇宙，而我们统治算法。《喜缺全书》

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者操作系统：win10 开

发环境： VS2022 C++17