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线性代数 第六章 二次型

一、矩阵表示

f(x_1,x_2,...,x_n)=x^TAx

r(A)称为二次型的秩。只含有变量的平方项,所有混合项系数全是零,称为标准形;平方项的系数为1、-1或0,称为规范形。

二次型的标准形不唯一,可以用不用的坐标变换化二次型为标准形;二次型的规范形唯一。

可以用正交变换先把二次型化为标准形,然后再做“伸缩”化为规范形,亦可用配方法直接得规范形。

二、标准形

2.1 惯性定理:正负惯性指数

2.2 合同:C^TAC=B,其中C可逆

化为标准形:配方法、正交变换法。

三、正定

3.1 定义:\forall x\neq 0,x^TAx>0

3.2 充要条件

  • 特征值全大于0
  • 正惯性指数p=n
  • 顺序主子式全大于0
  • A=C^TEC,其中C可逆

3.3 必要条件:a_{ii}> 0,\left [ A \right ]>0

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