平衡树相关笔记

引入

二叉查找树

二叉查找树（Binary Search Tree），又名二叉搜索树。满足以下性质：

• 对于非空的左子树，左子树点权值小于根节点。
• 对于非空的右子树，左子树点权值大于根节点。
• 二叉查找树的左右子树均是二叉查找树。

平衡树

在维持二叉查找树性质的基础上，通过改变其形态，控制深度在 $\log n$ 级别。

平衡树左右两个子树高度差不大于 $1$，否则需要进行左旋 / 右旋操作。

pb_ds

在 C++ 的 pb_ds 中有封装好的平衡树。

tree 类型的平衡树常数稍大，速度略慢。

声明方式

有以下声明（来源于官方文档）：

template<typename Key,typename Mapped,typename Cmp_Fn = std::less<Key>,typename Tag = rb_tree_tag,template<typename Const_Node_Iterator,typename Node_Iterator,typename Cmp_Fn_,typename Allocator_>class Node_Update = null_tree_node_update,typename Allocator = std::allocator<char> >
class tree;

常用的定义方式为 tree<int,null_type,less<int>,rb_tree_tag,tree_order_statistics_node_update>。

• 第一个参数表示存储元素（Key）的类型；
• 第二个参数表示映射规则（Mapped-Policy）的类型，常用的是 null_type，表示无映射；
• 第三个参数表示比较规则（Cmp_Fn）；
• 第四个参数表示平衡树的类型（Tag），有 rb_tree_tag（红黑树）、splay_tree_tag 等；
• 第五个参数表示更新节点的策略（Node_Update），默认为 null_node_update，如果要使用查询排名相关操作，需要使用 tree_order_statisitics_node_update。

常用操作

其中 x 表示存储元素的类型。

• insert(x)：插入元素 $x$。
• erase(x)：删除元素 $x$。
• order_of_key(x)：查询元素 $x$ 的排名（前面有多少数比 $x$ 小），返回值为整数。
• find_by_order(x)：查询排名为 $x$ 的元素对应的迭代器。
• lower_bound(x)、upper_bound(x)：返回迭代器。
• join(x)：将 $x$ 树并入当前树，要求两树值域不能重叠。合并后 $x$ 树被清空。
• split(x,b)：小于等于 $x$ 的属于当前树，其余的属于 $b$ 树。
• size()：返回大小。

以下是 P3369 【模板】普通平衡树 的代码。

注意用 pb_ds 实现的 tree 类似于一个 set，元素是不可重的。所以我们把元素以 pair 的形式存储，再记录一个元素被插入到 tree 的时间。

prev(it) 函数可以求迭代器 it 的前驱（即前一个位置）。注意求 $x$ 的后继时，用 upper_bound() 操作的键值对应该是 pair<x,INT_MAX>，避免查找到和 $x$ 相等但插入时间比 $x$ 晚的元素。

#include <bits/stdc++.h>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
using namespace __gnu_pbds;
using namespace std;tree<pair<int,int>,null_type,less<pair<int,int> >,rb_tree_tag,tree_order_statistics_node_update> t;int main()
{int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){int op,x;cin>>op>>x;if(op==1) t.insert({x,i});if(op==2) t.erase(t.upper_bound({x,0}));if(op==3) cout<<t.order_of_key({x,0})+1<<endl;if(op==4){auto it=t.find_by_order(x-1);cout<<(*it).first<<endl;}if(op==5){auto it=prev(t.lower_bound({x,0}));cout<<(*it).first<<endl;}if(op==6){auto it=t.upper_bound({x,INT_MAX});cout<<(*it).first<<endl;}}return 0;
}