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平衡树相关笔记

引入

二叉查找树

二叉查找树(Binary Search Tree),又名二叉搜索树。满足以下性质:

  • 对于非空的左子树,左子树点权值小于根节点。
  • 对于非空的右子树,左子树点权值大于根节点。
  • 二叉查找树的左右子树均是二叉查找树。

平衡树

在维持二叉查找树性质的基础上,通过改变其形态,控制深度在 log ⁡ n \log n logn 级别。

平衡树左右两个子树高度差不大于 1 1 1,否则需要进行左旋 / 右旋操作。

pb_ds

C++pb_ds 中有封装好的平衡树。

tree 类型的平衡树常数稍大,速度略慢。

声明方式

有以下声明(来源于官方文档):

template<typename Key,typename Mapped,typename Cmp_Fn = std::less<Key>,typename Tag = rb_tree_tag,template<typename Const_Node_Iterator,typename Node_Iterator,typename Cmp_Fn_,typename Allocator_>class Node_Update = null_tree_node_update,typename Allocator = std::allocator<char> >
class tree;

常用的定义方式为 tree<int,null_type,less<int>,rb_tree_tag,tree_order_statistics_node_update>

  • 第一个参数表示存储元素(Key)的类型;
  • 第二个参数表示映射规则(Mapped-Policy)的类型,常用的是 null_type,表示无映射;
  • 第三个参数表示比较规则(Cmp_Fn);
  • 第四个参数表示平衡树的类型(Tag),有 rb_tree_tag(红黑树)、splay_tree_tag 等;
  • 第五个参数表示更新节点的策略(Node_Update),默认为 null_node_update,如果要使用查询排名相关操作,需要使用 tree_order_statisitics_node_update

常用操作

其中 x 表示存储元素的类型。

  • insert(x):插入元素 x x x
  • erase(x):删除元素 x x x
  • order_of_key(x):查询元素 x x x 的排名(前面有多少数比 x x x 小),返回值为整数。
  • find_by_order(x):查询排名为 x x x 的元素对应的迭代器。
  • lower_bound(x)upper_bound(x):返回迭代器。
  • join(x):将 x x x 树并入当前树,要求两树值域不能重叠。合并后 x x x 树被清空。
  • split(x,b):小于等于 x x x 的属于当前树,其余的属于 b b b 树。
  • size():返回大小。

以下是 P3369 【模板】普通平衡树 的代码。

注意用 pb_ds 实现的 tree 类似于一个 set,元素是不可重的。所以我们把元素以 pair 的形式存储,再记录一个元素被插入到 tree 的时间。

prev(it) 函数可以求迭代器 it 的前驱(即前一个位置)。注意求 x x x 的后继时,用 upper_bound() 操作的键值对应该是 pair<x,INT_MAX>,避免查找到和 x x x 相等但插入时间比 x x x 晚的元素。

#include <bits/stdc++.h>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
using namespace __gnu_pbds;
using namespace std;tree<pair<int,int>,null_type,less<pair<int,int> >,rb_tree_tag,tree_order_statistics_node_update> t;int main()
{int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){int op,x;cin>>op>>x;if(op==1) t.insert({x,i});if(op==2) t.erase(t.upper_bound({x,0}));if(op==3) cout<<t.order_of_key({x,0})+1<<endl;if(op==4){auto it=t.find_by_order(x-1);cout<<(*it).first<<endl;}if(op==5){auto it=prev(t.lower_bound({x,0}));cout<<(*it).first<<endl;}if(op==6){auto it=t.upper_bound({x,INT_MAX});cout<<(*it).first<<endl;}}return 0;
}

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