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线性代数（六）| 二次型 标准型转换 正定二次型 正定矩阵

news 2026/4/25 14:24:34

文章目录

  • 1. 二次型化为标准型
    • 1.1 正交变换法
    • 1.2 配方法
  • 2 . 正定二次型与正定矩阵

1. 二次型化为标准型

和第五章有什么样的联系

首先上一章我们说过对于对称矩阵，一定存在一个正交矩阵Q，使得$Q^{-1}AQ=B $ B为对角矩阵

那么这一章中，我们讲到，二次型写成矩阵后本质上就是一个对称矩阵，而我们想把它变的标准型，不就正好是一个对角矩阵，那么实际上我们的这个化标准型，本质上不就是矩阵对角化吗

但我们在上一章中是$Q^{-1}AQ=B $ 引入的 矩阵关系叫矩阵相似

而在这一章中是$Q^{T}AQ=B $ 引入的矩阵关系叫矩阵合同

有同学会很好奇，那这不是不一样嘛，而我们其实了解到，对于正交矩阵 Q − 1 = Q T Q^{-1}=Q^T Q−1=QT ，也就不难理解他们是一样的了

1.1 正交变换法

（1）求矩阵特征值和特征向量

（2）特征向量正交化和单位化
在这里插入图片描述

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1.2 配方法

一般用到比较少

2 . 正定二次型与正定矩阵

​ 等价关系

（1）二次型 X T A X X^TAX XTAX是>0的

（2）A是正定矩阵

（3）A的正惯性指数是n

（4）A合同于单位矩阵

（5）A的特征值都是正数

（6）A的顺序主子式都大于零

在这里插入图片描述

​ 可以写出二次型矩阵 ( 1 t 1 t 4 0 1 0 2 ) \begin{pmatrix}1&t&1\\t&4&0\\1&0&2\end{pmatrix} ​1t1​t40​102​ ​ 另它的行列式大于零即可

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