线性代数（六）| 二次型 标准型转换 正定二次型 正定矩阵
文章目录
- 1. 二次型化为标准型
- 1.1 正交变换法
- 1.2 配方法
- 2 . 正定二次型与正定矩阵
1. 二次型化为标准型
和第五章有什么样的联系
首先上一章我们说过对于对称矩阵，一定存在一个正交矩阵Q，使得$Q^{-1}AQ=B $ B为对角矩阵
那么这一章中，我们讲到，二次型写成矩阵后本质上就是一个对称矩阵，而我们想把它变的标准型，不就正好是一个对角矩阵，那么实际上我们的这个化标准型，本质上不就是矩阵对角化吗
但我们在上一章中是$Q^{-1}AQ=B $ 引入的 矩阵关系叫矩阵相似
而在这一章中是$Q^{T}AQ=B $ 引入的矩阵关系叫矩阵合同
有同学会很好奇，那这不是不一样嘛，而我们其实了解到，对于正交矩阵 Q − 1 = Q T Q^{-1}=Q^T Q−1=QT ，也就不难理解他们是一样的了
1.1 正交变换法
（1）求矩阵特征值和特征向量
（2）特征向量正交化和单位化
1.2 配方法
一般用到比较少
2 . 正定二次型与正定矩阵
等价关系
（1）二次型 X T A X X^TAX XTAX是>0的
（2）A是正定矩阵
（3）A的正惯性指数是n
（4）A合同于单位矩阵
（5）A的特征值都是正数
（6）A的顺序主子式都大于零
可以写出二次型矩阵 ( 1 t 1 t 4 0 1 0 2 ) \begin{pmatrix}1&t&1\\t&4&0\\1&0&2\end{pmatrix} 1t1t40102 另它的行列式大于零即可
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