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K-means（K-均值）算法

news 2025/11/14 21:39:15

K-means（k-均值，也记为kmeans）是聚类算法中的一种，由于其原理简单，可解释强，实现方便，收敛速度快，在数据挖掘、聚类分析、数据聚类、模式识别、金融风控、数据科学、智能营销和数据运营等领域有着广泛的应用。

K-means 是我们最常用的基于欧式距离的聚类算法，其认为两个目标的距离越近，相似度越大。

一、K-means基础

1.1牧师-村民模型

K-means 有一个著名的解释：牧师—村民模型：

有四个牧师去郊区布道，一开始牧师们随意选了几个布道点，并且把这几个布道点的情况公告给了郊区所有的村民，于是每个村民到离自己家最近的布道点去听课。
听课之后，大家觉得距离太远了，于是每个牧师统计了一下自己的课上所有的村民的地址，搬到了所有地址的中心地带，并且在海报上更新了自己的布道点的位置。
牧师每一次移动不可能离所有人都更近，有的人发现A牧师移动以后自己还不如去B牧师处听课更近，于是每个村民又去了离自己最近的布道点……
就这样，牧师每个礼拜更新自己的位置，村民根据自己的情况选择布道点，最终稳定了下来。

我们可以看到该牧师的目的是为了让每个村民到其最近中心点的距离和最小。

1.2聚类

什么是聚类？

通俗说，聚类是将一堆数据划分成到不同的组中。

聚类（Clustering）的通俗定义：将一堆数据划分到不同的组中。一种无监督学习，其产生的类别是未知的。

聚类的学术定义：把一个数据对象的集合划分成簇（子集），使簇内对象彼此相似，簇间对象不相似的过程。

1.3聚类分类

在聚类算法中，常用的是 K-means 和 DBSCAN，但本文聚焦 K-means 。

HMM即隐马尔可夫模型（HiddenMarkovModel）在语音识别、机器翻译、中文分词、命名实体识别、词性标注、基因识别等领域有广泛的使用。

1.4基于划分的聚类算法

学术性的定义：按照某种目标将数据划分成若干个组，划分的结果是使目标函数值最大化（或最小化）。

通俗性的定义：根据样本特征的相似度或距离远近，将其划分为若干个类。

1.4.1相似度

什么是相似度？即两个对象的相似程度。

相似度的原理
	原理	代表
基于距离的度量	距离小，相似度大	欧氏距离
基于夹角的度量	夹角小，相似度大	余弦相似度

1.4.2距离

什么是距离？即两点的距离。

二、K-means原理

K-means，其中K是指类的数量，means是指均值。

2.1K-means原理

K-means是基于样本集合划分的聚类算法，是一种无监督学习。

K-means的思想：

将样本集合划分为k个子集，构成k个类；
将n个样本分到k个类中，每个样本到其所属类的中心距离最小。

K-means的假设：一个样本只属于一个类，或者类的交集为空集。

K-means是怎么判断类别的，又是怎么判断相似的？

通过K-means算法原理，可知K-means的本质是物以类聚。

2.2K-means算法

K-means 的算法步骤为：

选择初始化的 k 个样本作为初始聚类中心 $a = a_{1},a_{2},...a_{k}$ ；
针对数据集中每个样本 $x_{i}$ 计算它到 k 个聚类中心的距离并将其分到距离最小的聚类中心所对应的类中；
针对每个类别 $a_{j}$ ，重新计算它的聚类中心 $a_{j} = \frac{1}{|c_{j}|}\sum _{x\in c_{j}}x$ （即属于该类的所有样本的质心）；
重复上面 2 3 两步操作，直到达到某个中止条件（迭代次数、最小误差变化等）。

K-means聚类算法的主要步骤：

第一步：初始化聚类中心：随机选取k个样本作为初始的聚类中心。（k需要提前确定)
第二步：给聚类中心分配样本：计算每个样本与各个聚类中心之间的距离，把每个样本分配给距离它最近的聚类中心（初始中心的选择影响聚类结果）
第三步：移动聚类中心 ：新的聚类中心移动到这个聚类所有样本的平均值处（可能存在空簇）
第四步：停止移动：重复第2步，直到聚类中心不再移动为止

注意：K-means算法采用的是迭代的方法，得到局部最优解

2.2.1. K-means如何确定 K 值？

K-means 常常根据 SSE 和轮廓系数确定 K 值。

方法一：尝试不同k值：多选取几个k值，对比聚类效果，选择最优的k值。

方法二：结合业务特点：假定想要把文章分为兵乒球，篮球，综合三个类型，就设定k=3。

方法三：根据SSE和轮廓系数：SSE越小，聚类效果越好；轮廓系数越大，聚类效果越好。

2.2.2. K-means如何选取初始中心点？

K-means选择不同的初始中心，会得到不同的聚类结果。

K-means 常使用 K-means++ 方法确定初始中心点。

K-means++：选择初始的聚类中心之间的相互距离要尽可能的远。

二分K-means：选择误差最大的类，进行二分分裂。

2.2.3. K-means如何处理空簇？

聚类中心没有被分配到样本，常常将其删除。

空簇问题：K-means中计划聚成20类，结果才聚成19类，1类为空。

空簇原因：聚类中心没有被分配到样本。

解决办法：

法一：其他簇心的均值点
法二：删除空族
法三：最远离聚类中心的点

2.3. K- means特征工程

类别特征、大数值特征都不适用于 K-means 聚类。

原因：K-means是基于距离的，而类别没有距离。

k-means对异常值明显，比如年龄、金额等。

2.4. K- means评估

什么样的 K-means 聚类才是好的 K-means 聚类？

实际应用中，常常把 SSE（Sum of Squared Errors，误差平方和）与轮廓系数（Silhouette Coefficient）结合使用，评估聚类模型的效果。

SSE：误差平方和（Sum of Squared Errors）最小，聚类效果最好。

轮廓系数（Silhouette Coefficient）：轮廓系数越大，聚类效果越好。

2.4.1. SSE

SSE越小，聚类效果越好。

2.4.2. 轮廓系数

轮廓系数越大，聚类效果越好。

2.5复杂度

先看下伪代码：

获取数据 n 个 m 维的数据
随机生成 K 个 m 维的点
while(t)for(int i=0;i < n;i++)for(int j=0;j < k;j++)计算点 i 到类 j 的距离for(int i=0;i < k;i++)1. 找出所有属于自己这一类的所有数据点2. 把自己的坐标修改为这些数据点的中心点坐标
end

时间复杂度： $O(tknm)$ ，其中，t 为迭代次数，k 为簇的数目，n 为样本点数，m 为样本点维度。

空间复杂度： $O(m(n+k))$ ，其中，k 为簇的数目，m 为样本点维度，n 为样本点数。

三、K-means应用

3.1K-means的python实现

# -*- coding:utf-8 -*-
import numpy as np
from matplotlib import pyplotclass K_Means(object):# k是分组数；tolerance‘中心点误差’；max_iter是迭代次数def __init__(self, k=2, tolerance=0.0001, max_iter=300):self.k_ = kself.tolerance_ = toleranceself.max_iter_ = max_iterdef fit(self, data):self.centers_ = {}for i in range(self.k_):self.centers_[i] = data[i]for i in range(self.max_iter_):self.clf_ = {}for i in range(self.k_):self.clf_[i] = []# print("质点:",self.centers_)for feature in data:# distances = [np.linalg.norm(feature-self.centers[center]) for center in self.centers]distances = []for center in self.centers_:# 欧拉距离# np.sqrt(np.sum((features-self.centers_[center])**2))distances.append(np.linalg.norm(feature - self.centers_[center]))classification = distances.index(min(distances))self.clf_[classification].append(feature)# print("分组情况:",self.clf_)prev_centers = dict(self.centers_)for c in self.clf_:self.centers_[c] = np.average(self.clf_[c], axis=0)# '中心点'是否在误差范围optimized = Truefor center in self.centers_:org_centers = prev_centers[center]cur_centers = self.centers_[center]if np.sum((cur_centers - org_centers) / org_centers * 100.0) > self.tolerance_:optimized = Falseif optimized:breakdef predict(self, p_data):distances = [np.linalg.norm(p_data - self.centers_[center]) for center in self.centers_]index = distances.index(min(distances))return indexif __name__ == '__main__':x = np.array([[1, 2], [1.5, 1.8], [5, 8], [8, 8], [1, 0.6], [9, 11]])k_means = K_Means(k=2)k_means.fit(x)print(k_means.centers_)for center in k_means.centers_:pyplot.scatter(k_means.centers_[center][0], k_means.centers_[center][1], marker='*', s=150)for cat in k_means.clf_:for point in k_means.clf_[cat]:pyplot.scatter(point[0], point[1], c=('r' if cat == 0 else 'b'))predict = [[2, 1], [6, 9]]for feature in predict:cat = k_means.predict(predict)pyplot.scatter(feature[0], feature[1], c=('r' if cat == 0 else 'b'), marker='x')pyplot.show()

运行结果如下：

{0: array([1.16666667, 1.46666667]), 1: array([7.33333333, 9.        ])}

备注：*是两组数据的”中心点”；x是预测点分组。

3.2K-means的Sklearn实现

import numpy as np
from sklearn.cluster import KMeans
from matplotlib import pyplotif __name__ == '__main__':x = np.array([[1, 2], [1.5, 1.8], [5, 8], [8, 8], [1, 0.6], [9, 11]])# 把上面数据点分为两组（非监督学习）
clf = KMeans(n_clusters=2)
clf.fit(x)  # 分组centers = clf.cluster_centers_  # 两组数据点的中心点
labels = clf.labels_  # 每个数据点所属分组
print(centers)
print(labels)for i in range(len(labels)):pyplot.scatter(x[i][0], x[i][1], c=('r' if labels[i] == 0 else 'b'))
pyplot.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1], marker='*', s=100)# 预测
predict = [[2, 1], [6, 9]]
label = clf.predict(predict)
for i in range(len(label)):pyplot.scatter(predict[i][0], predict[i][1], c=('r' if label[i] == 0 else 'b'), marker='x')pyplot.show()

运行结果如下：

[[7.33333333 9.        ][1.16666667 1.46666667]]
[1 1 0 0 1 0]

备注：*是两组数据的”中心点”；x是预测点分组。

3.3. 用户聚类分群

数据集：titanic.xls（泰坦尼克号遇难者与幸存者名单）

titanic.xls的数据集获取地址：

titanic.xls

任务：基于除survived字段外的数据，使用k-means对用户进行分组（生/死）

聚类的用户分群常用在早期，尝试进行用户探索。实际落地常常结合用户标签，或者用户画像进行用户分群。

用户聚类分群的python代码如下：

# -*- coding:utf-8 -*-
import numpy as np
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn import preprocessing
import pandas as pd# 加载数据
df = pd.read_excel('titanic.xls')
df.drop(['body', 'name', 'ticket'], 1, inplace=True)
df.fillna(0, inplace=True)  # 把NaN替换为0# 把字符串映射为数字，例如{female:1, male:0}
df_map = {}
cols = df.columns.values
for col in cols:if df[col].dtype != np.int64 and df[col].dtype != np.float64:temp = {}x = 0for ele in set(df[col].values.tolist()):if ele not in temp:temp[ele] = xx += 1df_map[df[col].name] = tempdf[col] = list(map(lambda val: temp[val], df[col]))# 将每一列特征标准化为标准正太分布
x = np.array(df.drop(['survived'], 1).astype(float))
x = preprocessing.scale(x)
clf = KMeans(n_clusters=2)
clf.fit(x)# 计算分组准确率
y = np.array(df['survived'])
correct = 0
for i in range(len(x)):predict_data = np.array(x[i].astype(float))predict_data = predict_data.reshape(-1, len(predict_data))predict = clf.predict(predict_data)if predict[0] == y[i]:correct += 1print(correct * 1.0 / len(x))

执行结果：

第一次执行：0.6974789915966386
第二次执行：0.3017570664629488

注意：结果出现很大波动，原因是它随机分配组(生:0,死:1）(生:1,死:0）。

四、K-means总结

4.1K-means的优缺点

4.1.1优点

容易理解，聚类效果不错，虽然是局部最优，但往往局部最优就够了；
原理简单，实现方便，收敛速度快；
处理大数据集的时候，该算法可以保证较好的伸缩性；
当簇近似高斯分布的时候，效果非常不错；
算法复杂度低；
聚类效果较优；
模型的可解释性较强；
调参只需要调类数k 。

4.1.2 缺点

K 值需要人为设定，不同 K 值得到的结果不一样，k的选取不好把握；
对初始的簇中心敏感，不同选取方式会得到不同结果；
对异常值敏感；
样本只能归为一类，不适合多分类任务；
不适合太离散的分类、样本类别不平衡的分类、非凸形状的分类；
如果数据的类型不平衡，则聚类效果不佳
采用的是迭代的方法，得到局部最优解
对于噪音和异常点比较敏感

什么是凸集 (convex set)？

凸集 (convex set)

欧几里得空间的一个子集，其中任意两点之间的连线仍完全落在该子集内。例如，下面的两个图形都是凸集：

所以，凸的数据集，即数据集的样本呈现凸集分布。

相反，下面的两个图形都不是凸集：

所以，不是凸的数据集，即是数据集的样本呈现的不是凸集分布。

4.2K-means的改进

针对K-means缺点，K-means有许多改进算法，如数据预处理（去除异常点），合理选择 K 值，高维映射等。

K-means改进
缺点	改进
1、k的选取不好把握	ISODATA
2、对初始聚类中心敏感	k-means++
3、对于不是凸的数据集比较难以收敛	DESCAN
4、如果数据的类型不平衡，则聚类效果不佳	CUSBoost
5、采用的是迭代的方法，得到局部最优解	二分K-means
6、对于噪音和异常点比较敏感	K-Mediods

【机器学习】K-means（非常详细） - 知乎 (zhihu.com)https://zhuanlan.zhihu.com/p/78798251

Kmeans++聚类算法原理与实现 - 知乎 (zhihu.com)https://zhuanlan.zhihu.com/p/152286357

4.3聚类和分类的区别

聚类和分类的区别是什么呢？

最大区别是：聚类是无监督的；分类是有监督学习。

其中机器学习的分类按输出类别（标签）不同，可以分为二分类（Binary Classification）、多分类（Multi-Class Classification）、多标签分类（Multi-Label Classification）。