傅里叶分析（2）

在《傅里叶分析（1）》中，讲述了连续信号的傅里叶分析方法，本文讲述离散信号的傅里叶分析方法。

虽然电、声、光、机械振动等信号在物理上是连续函数，但在实际工程中，其通常为离散信号，即若干离散的数据点。对于离散信号，傅里叶级数和傅里叶变换已经无法使用，需要使用 DTFT（离散时间傅里叶变换）和 DFT（离散傅里叶变换）分析离散信号。

1 离散信号的来源

离散信号来源于对连续信号的采样。数学处理上，离散信号为连续信号和采样函数（sampling function）的乘积：

采样函数为基于狄拉克 δ 函数（Dirac delta function）表述的脉冲序列，其定义如下：

采样函数为周期函数，其在非采样时刻的函数值为 0，由此可得仅限采样时刻的离散数据点。

采样函数的图像（图源：维基百科）

采样函数的傅里叶变换为频域上的采样函数，其周期为 1/T：

2 离散时间傅里叶变换（discrete-time Fourier transform，DTFT）

根据前述采样方法，可将离散信号 x{n} 视为连续函数，除了采样点之外其他时刻函数值均为0。

傅里叶变换的卷积特性可表示为：

利用傅里叶变换的卷积特性，对 x{n} 进行傅里叶变换，其结果即 DTFT 计算公式为：

变换结果 X(ξ) 为连续周期函数，其周期为 1/T，即 X(ξ)=X(ξ+n/T)。

由于 X(ξ) 为连续函数，其逆变换可直接使用傅里叶逆变换的计算公式。对于周期函数，可将积分区间从无穷大简化到一个周期内，得到 DTFT 逆变换公式：

其中，积分区间可为任意的区间，只需满足区间的长度为单个周期长度 1/T 即可。根据 n 取值的不同即可获得 x{n} 各项取值。

对于纯实数的信号 x{n}，其变换结果 X(ξ) 在正频率和负频率的幅值为对称关系。

3 离散傅里叶变换（discrete Fourier transform，DFT）

虽然 DTFT 表明了离散信号的频谱分析方法，但是得到的频谱是连续函数，对基于程序的实际信号分析造成很大困难。

引用 DTFT 思路，将 x{n} 视为连续函数。根据连续信号的频谱特征，周期函数的频谱为离散点，由此可对频谱进行程序处理。

将包含 N 个数据点的有限数据集 x{n}（从 x{0} 至 x{N-1}），进行周期延拓，即 x{n} = x{n+k*T*N)}，可使之成为在无穷大区间均有定义的周期函数，其周期为 T*N。由于 x{n} 的周期性，对 x{n} 进行DTFT 仅需在单周期内即可进行。

单周期内的 DTFT 为 DFT，其计算公式为：

很显然，X{k} 在区间 [0, N-1] 只有 N 个取值，且周期为 N。

同理，在频域的单周期内进行 DTFT 逆变换，即可得到 DFT 逆变换计算公式：

4 重要问题

4.1 频谱的类型

通常而言，时域信号 x{n} 来源为传感器信号、A/D电路转换等，其表示的物理量通常为可直接测量的物理量，如速度、电流、温度等。

实际应用中，频谱通常分为幅值谱（amplitude spectrum）和功率谱（power spectrum）两类。幅值谱表示与功率的平方根成比例的物理量（如速度、电流、电压等）；功率谱表示功率或与功率成比例的物理量（如光强度、声强度等）。

功率谱示意图（图源：mathworks.com）

幅值谱和功率谱分别定义如下：

4.2 频谱范围与精度

对于纯实数函数，在正数范围内，DFT 可分析的频率范围为：

其中，t 为采样总时间，fs 为采样频率。

由 DFT 周期延拓的操作思路即可得，信号的基频为采样总时间对应的频率，其他所有频率都高于基频。根据奈奎斯特采样定理（Nyquist sampling theorem），离散信号可分析的频谱最高频率为采样频率的一半。对于更高频率部分，DFT 已无法分析。

DFT 频谱的频率分辨率为：

其中 N 为信号的数据点数量。

4.2 数据处理与窗函数

对离散信号的周期延拓，通常会在信号首尾两端形成较大的不连续。信号在时域的不连续会导致频谱泄露（spectral leakage），即人为形成某些本不存在的谐波。

通过窗函数（window function）对离散信号进行处理，使信号首尾两端的幅值逐步降低，可降低信号在两端的不连续性。

通过窗函数处理后的信号 y{n} 和原始信号 x{n} 之间，满足：

其中 w{n} 为窗函数。

窗函数应用效果对比（图源：《Digital Signal Processing Fundamentals and Applications》，作者 Li Tan）

常用的窗函数包括三角、Hamming、Hanning等。

若信号是宽带信号，即不存在很明显的频域尖峰，可无需窗函数处理。Hanning 窗函数适用于多数常规问题，可作为通用的窗函数。

Hanning 窗函数表达式为：

5 DFT 和 FFT 的关系

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是 DFT 的一种计算方法。FFT 本质上是利用其它替代计算方式，避免根据 DFT 的定义直接计算 DFT，从而加快计算速度，节约硬件资源。

FFT 当前最常用方法为 Cooley–Tukey 方法。许多工程计算软件均有 FFT 相关功能，直接导入数据序列进行分析即可。

6 总结

对（1）、（2）文的重点进行总结：

• 傅里叶级数和傅里叶变换表述了连续信号频谱分析方法
• DTFT 表述了无限多样本的离散信号频谱分析方法
• DFT 表述了有限多样本的离散信号频谱分析方法
• 只有 DFT 可直接用于程序计算
• 使用 FFT 可加快 DFT 计算速度