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物理问题中常见的分析问题----什么样的函数性质较好

news 2025/11/8 20:59:42
  • 物理问题中常见的积分符号位置交换问题

重极限与累次极限

  • 高数下的定义
    • 累次极限：求极限时需要遵循一定的顺序
    • 重极限：任意方向趋于的极限

  • 两者之间的关系：
    • 两者没啥关系
  • 存在累次极限存在而不相等的函数
  • ......

求和符号与积分符号互换--逐项积分问题

  • 一致收敛性的定义级别判定方法----柯西判别法
  • 函数项级数\sum u_n一致收敛的充分必要条件是对于任意给定的\varepsilon>0，存在正整数N=N(\varepsilon)使得|u_{n+1}+u_{n+2}+...+u_m(x)|<\varepsilon对一切m>n>N成立

  • 一致收敛性的判别方法之一----外尔斯特拉斯方法
  • 设\sum u_n(x)是一个函数项级数，若存在一个收敛的正项级数\sum v_n且存在N当n>N时|u_n|<v_n，那么函数项级数\sum u_n(x)一致收敛

  • 一致收敛性的判别方法之一----比较判别法
  • 设\sum u_n(x)是一个函数项级数，设q_n(x)=\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}，存在正整数N以及实数q,M使得q_n(x)\leq q < 1,u_n(x)\leq M对任意n>N,x\in D成立，则函数项级数在D上一致收敛

  • 一致收敛性的判别方法之一----根式判别法
  • 设\sum u_n(x)是一个函数项级数，若存在一个正整数N使得^n\sqrt{|u_n(x)|}\leq q \leq 1对于所有n>N,x\in D成立，那么函数项级数在D上一致收敛

  • 一致收敛性的判别方法
    • 狄利克雷方法
    • 阿贝尔方法

  • 函数项级数\sum_{n=1}^\infty u_n(x)在[a,b]上一致收敛于f(x)且所有的u_n(x)在[a,b]上可积，那么\int_a^bf(x)dx=\int_a^b(\sum_{n=1}^\infty u(x))dx=\sum_{n=1}^\infty \int_a^b u_n(x)dx

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