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python语言实现背包问题动态规划

背包问题是一个经典的动态规划问题,实现方式如下:

假设有一个背包,容量为 W,有 n 个物品,每个物品有两个属性:体积 v 和价值 w。要求在不超过背包容量的情况下,选取一些物品放入背包,使得背包中物品的价值最大。

使用一个二维数组 dp 来记录每个状态的最优解,其中 dp[i][j] 表示考虑前 i 个物品,且背包容量为 j 时的最大价值。

状态转移方程如下:

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i])

其中,第一部分 dp[i-1][j] 表示不选第 i 个物品,背包容量不变;第二部分 dp[i-1][j-v[i]] + w[i] 表示选第 i 个物品,背包容量减少 v[i],价值增加 w[i]。

最终的最大价值为 dp[n][W]。

下面是 Python 代码实现:

def knapsack(W, n, v, w):# 初始化 dp 数组dp = [[0] * (W+1) for _ in range(n+1)]for i in range(1, n+1):for j in range(1, W+1):if j < v[i]:dp[i][j] = dp[i-1][j]else:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i])return dp[n][W]

其中,W 表示背包容量,n 表示物品数量,v 和 w 分别表示每个物品的体积和价值。

调用 knapsack 函数,即可求出最大价值。

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