LeetCode算法题解（动态规划）|LeetCode509. 斐波那契数、LeetCode70. 爬楼梯、LeetCode746. 使用最小花费爬楼梯

一、LeetCode509. 斐波那契数

题目链接：509. 斐波那契数

题目描述：

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示：

• 0 <= n <= 30

算法分析：

根据动规五部曲来就可以了。

这道题题目已经给了我们地推的公式F[n]=F[n-1]+F[n-2]，以及其初始值F[0]=1，F[1]=1，所以我们只需要明白F[n]及其下标的含义就可以了。

显然F[n]表示数列中第n项数的值。

然后我们来遍历整个数组，按照递推公式依次确定每个项的值。

最后返回第n项F[n]即可。

如果算出来的结果有问题，可以把数组打印出来，检查递推是否有问题。

代码如下：

class Solution {public int fib(int n) {if(n <= 1) return n;int[] dp = new int[n + 1];dp[0] = 0;dp[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; i++)dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];return dp[n];}
}

时间复杂度o(n)空间复杂度o(n).

二、LeetCode70. 爬楼梯

题目链接：70. 爬楼梯

题目描述：

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

• 1 <= n <= 45

算法分析：

确定dp数组及下标含义：

用dp[i]表示爬到第i阶楼梯可以有多少种方法。

递推公式：

第i阶楼梯可以由i-1阶楼梯跳一步上来，也可以由i-2阶楼梯跳两步上来。

所以到达第i阶楼梯可以有dp[i-1]+dp[i-2]种方法，即dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]。

初始化：

爬上第一阶楼梯有一种方法，即从第0阶向上爬一步，所以dp[1]=1；

爬上第二阶楼梯有两种方法，从第0阶向上一次性爬两步到第二阶，或者向上爬两次，一次爬一步到第二阶，所以dp[2]=2。

遍历顺序：

从前往后依次遍历并确定到达每阶楼梯所需要的方法。

如果结果有问题，打印dp数组，查看是否跟自己推导的一致。

代码如下：

class Solution {public int climbStairs(int n) {if(n <= 2) return n;int[] dp = new int[n + 1];dp[1] = 1;dp[2] = 2;for(int i = 3; i <= n; i++) dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];return dp[n];}
}

时间复杂度o(n),空间复杂度o(n).

三、LeetCode746. 使用最小花费爬楼梯

题目链接：746. 使用最小花费爬楼梯

题目描述：

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：

输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。

示例 2：

输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

提示：

• 2 <= cost.length <= 1000
• 0 <= cost[i] <= 999

算法分析：

确定dp数组及下标含义：

dp[i]表示到达第i阶楼梯所需花费的最小费用。

递推公式：

到第i阶可以从i-1阶跳一步上来，所需花费为dp[i-1]+cost[i-1],也可以从i-2阶跳两步上来，所需花费为dp[i-2]+cost[i-2],所以到达第i阶所需要的最小花费为dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2])。

初始化：

题目给出的条件，我们可以从第0阶或第1阶楼梯开始爬楼梯。

所以爬上第0阶楼梯所需的最小花费dp[0]=0，爬上第1阶所需的最小花费dp[1]=0；

遍历顺序：

从前往后依次遍历并确定到达每阶楼梯所需的最小花费。

如果有问题打印dp数组验证。

代码如下：

class Solution {public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {int len = cost.length;int[] dp = new int[len + 1];dp[0] = 0;dp[1] = 0;for(int i = 2; i <= len; i++)dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);return dp[len];}
}

时间复杂度o(n),空间复杂度o(n).

总结

解决了这三道题，动态规划算是入门了，这三道题只要按照动规五部曲来还是比较简单的。

动规五部曲：

1，确定dp数组及下标的含义。

2，确定递归公式。

3，初始化。

4，确定遍历顺序。

5，打印dp数组验证结果。