二项分布和泊松分布

一、二项分布
1.1 n重伯努利试验
若是二项分布，则必是n重伯努利试验概型。即：每次试验只有两种结果
与
，且在每次试验中A发生的概率相等，即P(A)=p，将这种试验独立重复n次，则称这种试验为n重伯努利试验，也叫n重伯努利概率模型，所以二项分布也叫伯努利分布。

1.2 什么是二项
二项是指：把一个随机试验的结果只划分成两种。例如：要么A事件发生，要么A事件没发生，记为：
和
；所以二项的涵义可理解为：随机变量X的取值只有两个，第一个取值的代表某事件发生了，第二个则代表某事件未发生。再例如：将考试成绩的结果分为两类，第一类是成绩≥60分，则第二类是成绩＜60分。

1.2 二项分布X~B
用随机变量X来表示在n重伯努利试验中A事件发生的次数，其概率函数为：

,
,

则称：X服从参数为（n，p）的二项分布，记作X~B。期望：E(X)=np；方差：D(X)=n·p(1-p)。

1.4 二项分布的性质
一般地，对于固定的n及p，当k增加时，概率P(X=k)先是随之增加直至到达最大值，随后单调减少：① 当(n+1)p为整数时，概率P(X=k)在k=
=p(n+1)和(n+1)p-1时达到最大值；② 不为整数时，概率P(X=k)在k=
在p(n+1)时达到最大值。称
为二项分布的最可能值。说人话就是：当发生k次为几时，二项分布的概率值最大，最大即意味着最有可能发生。

1.5 二项分布示例
抛一枚硬币，设朝上的结果为随机变量X。问：假设一共抛5次，正面和反面发生的概率均为1/2，求3次正面朝上的概率：
，答：5次中发生3次正面朝上的概率为31.25%

随机变量X(正面朝上次数)的期望：E(X)=np=(
)，指：抛5次，正面朝上次数的平均结果是2.5次。

随机变量X(正面朝上次数)的方差：D(X)=n·p(1-p)=(
，指：抛5次，正面朝上出现次数的方差为1.2。

二、泊松分布
2.1 与二项分布的区别
泊松分布可以理解为：二项分布的试验次数趋向于无穷大时，事件A发生的次数及概率的分布。在理论上，泊松分布是二项分布的极限分布。当趋于无限次数时，可理解为一个时段或时空内，将每次试验是在分割成每秒/每分等事件单位下的事件A是否发生。如下图所示。

重点：一般地，当n较大，p较小，np大小适当时，以(n,p)为参数的二项分布可近似看成参数为
的泊松分布，这样可利用泊松分布对二项分布作近似计算，实际计算时，
时近似的效果极好。

2.2 泊松分布的涵义
泊松分布是用来描述：在一个比较长的时间段（时空）里面，一个很小概率事件发生的次数。例如：一段时间内电话总台收到的来电呼叫次数；一段时间内，账户登录系统发生故障的次数；在一天内，来到商场的顾客人数；游泳池里一平方米内，从水底冒出来泡的次数等。

2.3 泊松分布X~P
用随机变量X来表示在在一段时间或时空内A事件发生的次数，其概率函数为：

,

其中
，称X服从参数为
的泊松分布（poisson distribution），记作X~P(
)。

其中期望E(X)和方差D(X)都为：
。

2.4 泊松分布查表得概率
例如：k=5次，
=7，依下表查的P(X=5)=0.369≈37%；

例如：k≤3次，
=4，依下表查的P(X≤3)=0.0183+0.0916+0.2381+0.4335=0.7815≈78%。