代数学笔记9: 群的直积,可解群,自由群,群表示

群的直积

外直积

$H_1,H_2$是两个群(固定的群), 且有$G=H_1\times H_2$,(构造的新群)
$$G=(\{(h_1,h_2)|h_1\in H_1,h_2\in H_2\},\cdot ),$$
定义运算:
$$(h_1,h_2)\cdot (g_1,g_2)\triangleq (h_1{g}_1,h_2{g}_2),\forall h_1,g_1\in H_1,h_2,g_2\in H_2.$$
并且有:
H 1 × { e 2 } = { ( h 1 , e 2 ) ∣ ∀ h 1 ∈ H 1 , e 2 ∈ H 2 } ≅ H 1 ⊴ G . H_1\times\{e_2\}=\{(h_1,e_2)|\forall h_1\in H_1,e_2\in H_2\}\cong H_1\unlhd G. H1​×{e2​}={(h1​,e2​)∣∀h1​∈H1​,e2​∈H2​}≅H1​⊴G.

内直积

与外直积相反, $G$是一个群, 如果$H_1,H_2⊴G$且 H 1 ∩ H 2 = { e } H_1\cap H_2=\{e\} H1​∩H2​={e}, $G=H_1{H}_2$, 则称$G\cong H_1\times H_2$.

证明:

1. $\forall g\in G,g=h_1{h}_2$, 其中$h_1\in H_1,h_2\in H_2$;

2. H 1 ∩ H 2 = { e } H_1\cap H_2=\{e\} H1​∩H2​={e} 上面的表示方法唯一.
   若不然, $g=h_1{h}_2=g_1{g}_2$, 两边左乘$g_1^{-1}$,右乘$h_2^{-1}$, 得到
   $$H_1\ni g_1^{-1}{h}_1=g_2{h}_2^{-1}\in H_2,⟺g_1^{-1}{h}_1=g_2{h}_2^{-1}=e.$$

3. 于是$H_1\times H_2⟶G:(h_1,h_2)⟼h_1{h}_2$.

直积的意义:
G = H 1 × H 2 , G > H 1 > { i d } , ⟺ G / H 1 ≅ H 2 . G= H_1\times H_2, G>H_1>\{{\rm id}\},\iff G/H_1\cong H_2. G=H1​×H2​,G>H1​>{id},⟺G/H1​≅H2​.
例子:
${\mathcal{S}}_3\times {\mathcal{S}}_3$,(36阶群) 则
$$\begin{gathered} {\mathcal{S}}_3\cong (\{(a,a)|a\in {\mathcal{S}}_3\},\cdot ) \\ \cong {\mathcal{S}}_3\times \{(1)\}=\{(1)\}\times {\mathcal{S}}_3 \end{gathered}$$
第一行不是${\mathcal{S}}_3\times {\mathcal{S}}_3$的正规子群, 但是第二行是.

例子:(交换群, 等价于$d_i$阶循环群的直积)
$$G=C_{d_1}\times \cdots \times C_{d_n},C_d\cong (\mathbb{Z}/d\mathbb{Z},+)=⟨g⟩,g^d=e.$$
对于具体的例子:$C_4\times C_8$,

有几个4阶群, 有几个8阶群?

Sol.

通过循环群的定义计算,

半直积

$H_1⊴G,G/H_1\cong H_2$, 则$G=H_1⋉H_2$.

• 如果$H_1,H_2$为循环群, $G$称为亚循环群.

可解群

正规子群链:
G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ ⋯ G i ⊃ G i + 1 ⊃ ⋯ ⊃ G n = { e } , G=G_0\supset G_1\supset \cdots G_i\supset G_{i+1}\supset \cdots\supset G_n=\{e\}, G=G0​⊃G1​⊃⋯Gi​⊃Gi+1​⊃⋯⊃Gn​={e},
其中$G_i⊴G_{i-1}$.

合成群链(中间的任意两个商群都是单群, 或者中间找不到子群, 使正规子群链成立)

• 循环群的合成群链:

  由循环群结构定理:
  $$G\cong C_n\cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+),\forall m|n,(m\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+),$$
  得到: 若$n=p_1\cdots p_s$, 则有
  G = Z / n Z > p 1 Z / n Z > p 1 p 2 Z / n Z > ⋯ > p 1 ⋯ p s Z / n Z = { e } . G=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}>p_1\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}>p_1p_2\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}>\cdots>p_1\cdots p_s\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{e\}. G=Z/nZ>p1​Z/nZ>p1​p2​Z/nZ>⋯>p1​⋯ps​Z/nZ={e}.

• 交换群的合成群链:
  由交换群结构定理,
  $$G\cong \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/d_2\mathbb{Z}\times \cdots \times \mathbb{Z}/d_n\mathbb{Z},d_1|d_2,\cdots ,d_{n-1}|d_n,$$
  于是我们有
  G > Z / d 1 Z × ⋯ × Z / d n − 1 Z × { 1 } > ⋯ > Z / d 1 Z × { 1 } × ⋯ × { 1 } ⏟ n − 1 个 > { 1 } G>\mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\times\cdots\times \mathbb{Z}/d_{n-1}\mathbb{Z}\times\{1\}>\cdots>\mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\times\underbrace{\{1\}\times\cdots\times\{1\}}_{n-1个}>\{1\} G>Z/d1​Z×⋯×Z/dn−1​Z×{1}>⋯>Z/d1​Z×n−1个 {1}×⋯×{1}​​>{1}

• p-群的合成群链:
  $G$不交换, 则 Z ( G ) ≠ { 1 } \mathbb{Z}(G)\ne\{1\} Z(G)={1},
  G > Z ( G ) > { 1 } . G>\mathbb{Z}(G)>\{1\}. G>Z(G)>{1}.
  即$|G|=p^n$,
  G > G 1 > ⋯ > G n = { 1 } G>G_1>\cdots>G_n=\{1\} G>G1​>⋯>Gn​={1}
  其中$|G_i|=p^{n-i}$,

  $G$交换, 直接由上述讨论得到.

$G$可解$⟺G_i/G_{i+1}$为素数阶循环群.

应用Sylow定理:

$p^{a}q$阶群必可解($p,q$为素数,$a\in \mathbb{Z}$).

证明:

具体的例子:$56=2^3\cdot 7$, 只有如下几种可能.(由Sylow第三定理)
$$\begin{gathered} n_2=1,7 \\ {n}_7=1,8 \end{gathered}$$
如果$n_7=8$, 则有8个7阶子群, 设为$⟨g_1⟩,\cdots ,⟨g_8⟩$, 每个7阶子群有6个7阶元(以及1个单位元)

于是$56-6\times 8=8$还剩下8个元素(减掉48个7阶元), 这8个元素构成了Sylow-2群(除单位元之外, 剩下元素都是8阶元),

• $(8,7)=1$, 于是sylow-2群没有7阶元(由Lagrange定理), 这8个非7阶元构成唯一的Sylow-2群, 于是$n_2=1$, 设此sylow-2群为$H$, 则

G ⊵ H > { e } , ∣ H ∣ = 8. G\unrhd H>\{e\}, |H|=8. G⊵H>{e},∣H∣=8.

于是56阶群可解.

自由群

商群表示