【算法优选】 动态规划之路径问题——贰

🎋前言

动态规划相关题目都可以参考以下五个步骤进行解答：

1. 状态表⽰

2. 状态转移⽅程

3. 初始化

4. 填表顺序

5. 返回值

后面题的解答思路也将按照这五个步骤进行讲解。

🌲下降最小路径和

🚩题目描述

给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

• 示例 1：

输入：matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]
输出：13
解释：如图所示，为和最小的两条下降路径

• 示例 2：

输入：matrix = [[-19,57],[-40,-5]]
输出：-59
解释：如图所示，为和最小的下降路径

class Solution {public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {}
}

🚩算法思路：

关于这⼀类题，由于我们做过类似的，因此「状态表⽰」以及「状态转移」是⽐较容易分析出来的。
⽐较难的地⽅可能就是对于「边界条件」的处理。

1. 状态表⽰：
   对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：
   • 从 [i, j] 位置出发，到达⽬标位置有多少种⽅式；
   • 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，⼀共有多少种⽅式

这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：
dp[i][j] 表⽰：到达 [i, j] 位置时，所有下降路径中的最⼩和。

2. 状态转移⽅程：
   对于普遍位置 [i, j] ，根据题意得，到达 [i, j] 位置可能有三种情况：
   • 从正上⽅ [i - 1, j] 位置转移到 [i, j] 位置；
   • 从左上⽅ [i - 1, j - 1] 位置转移到 [i, j] 位置；
   • 从右上⽅ [i - 1, j + 1] 位置转移到 [i, j] 位置；

我们要的是三种情况下的「最⼩值」，然后再加上矩阵在 [i, j] 位置的值。于是 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j +1])) + matrix[i][j] 。

3. 初始化：
   可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
   • 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
   • 「下标的映射关系」。

在本题中，需要「加上⼀⾏」，并且「加上两列」。所有的位置都初始化为⽆穷⼤，然后将第⼀⾏初始化为0 即可。

4. 填表顺序：
   根据「状态表⽰」，填表的顺序是「从上往下」。

5. 返回值：
   注意这⾥不是返回 dp[m][n] 的值！

题⽬要求「只要到达最后⼀⾏」就⾏了，因此这⾥应该返回「dp表中最后⼀⾏的最⼩值」。

🚩代码实现

class Solution {public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {// 1. 创建 dp 表// 2. 初始化// 3. 填表// 4. 返回结果int n = matrix.length;int[][] dp = new int[n + 1][n + 2];for(int i = 1; i <= n; i++) {dp[i][0] = dp[i][n + 1] = Integer.MAX_VALUE;}for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= n; j++) {dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], Math.min(dp[i - 1][j - 1],dp[i - 1][j + 1])) + matrix[i - 1][j - 1];}}int ret = Integer.MAX_VALUE;for(int j = 1; j <= n; j++) {ret = Math.min(ret, dp[n][j]);}return ret;}
}

🎍最小路径和

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

• 示例 1：
  
  输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
  输出：7
  解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

• 示例 2：
  输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
  输出：12

class Solution {public int minPathSum(int[][] grid) {}
}

🚩算法思路

像这种表格形式的动态规划，是⾮常容易得到「状态表⽰」以及「状态转移⽅程」的，可以归结到「不同路径」⼀类的题⾥⾯。

1. 状态表⽰：
   对于这种路径类的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：
   • 从 [i, j] 位置出发，一系列操作；
   • 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，一系列操作。

这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：dp[i][j] 表⽰：到达 [i, j] 位置处，最⼩路径和是多少。

2. 状态转移：
   简单分析⼀下。如果 dp[i][j] 表⽰到达到达 [i, j] 位置处的最⼩路径和，那么到达[i, j] 位置之前的⼀⼩步，有两种情况：
   • 从 [i - 1, j] 向下⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置；
   • 从 [i, j - 1] 向右⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置。

由于到 [i, j] 位置两种情况，并且我们要找的是最⼩路径，因此只需要这两种情况下的最⼩值，再加上 [i, j] 位置上本⾝的值即可。也就是： dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]

3. 初始化：
   可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
   • 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
   • 「下标的映射关系」。

在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，所有位置的值可以初始化为⽆穷⼤，然后让dp[0][1] = dp[1][0] = 1 即可。

4. 填表顺序：
   根据「状态转移⽅程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，每⼀⾏「从左往后」。

5. 返回值：
   根据「状态表⽰」，我们要返回的结果是 dp[m][n]

🚩代码实现

class Solution {public int minPathSum(int[][] grid) {// 1. 创建 dp 表// 2. 初始化// 3. 填表// 4. 返回值int m = grid.length;int n = grid[0].length;int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];for(int j = 0; j <= n; j++)  {dp[0][j] = Integer.MAX_VALUE;}for(int i = 0; i <= m; i++) {dp[i][0] = Integer.MAX_VALUE;}dp[0][1] = dp[1][0] = 0;for(int i = 1; i <= m; i++){for(int j = 1; j <= n; j++) {dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i - 1][j-1];}}return dp[m][n];}
}

🌴地下城游戏

🚩题目描述

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

• 示例 1：
  
  输入：dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]]
  输出：7
  解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下 ，则骑士的初始健康点数至少为 7 。

• 示例 2：
  输入：dungeon = [[0]]
  输出：1

class Solution {public int calculateMinimumHP(int[][] dungeon) {}
}

🚩算法思路

1. 状态表⽰：

这道题如果我们定义成：从起点开始，到达 [i, j] 位置的时候，所需的最低初始健康点数。那么我们分析状态转移的时候会有⼀个问题：那就是我们当前的健康点数还会受到后⾯的路径的影响。也就是从上往下的状态转移不能很好地解决问题。

这个时候我们要换⼀种状态表⽰：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需要的最低初始健康点数。这样我们在分析状态转移的时候，后续的最佳状态就已经知晓。

综上所述，定义状态表⽰为：
dp[i][j] 表⽰：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数。

2. 状态转移⽅程：
   对于 dp[i][j] ，从 [i, j] 位置出发，下⼀步会有两种选择（为了⽅便理解，设 dp[i] [j] 的最终答案是 x ）：
   • ⾛到右边，然后⾛向终点
     那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要⼤于等于右边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i][j + 1] 。通过移项可得： x >= dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最⼩值，因此这种情况下的 x = dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] ；
   • ⾛到下边，然后⾛向终点
     那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要⼤于等于下边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i + 1][j] 。通过移项可得： x >= dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最⼩值，因此这种情况下的 x = dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] ；

综上所述，我们需要的是两种情况下的最⼩值，因此可得状态转移⽅程为：dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]

但是，如果当前位置的 dungeon[i][j] 是⼀个⽐较⼤的正数的话， dp[i][j] 的值可能变成 0 或者负数。也就是最低点数会⼩于 1 ，那么骑⼠就会死亡。因此我们求出来的 dp[i][j] 如果⼩于等于 0 的话，说明此时的最低初始值应该为 1 。处理这种情况仅需让 dp[i][j] 与 1 取⼀个最⼤值即可：dp[i][j] = max(1, dp[i][j])

3. 初始化：
   可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
   • 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
   • 「下标的映射关系」。

在本题中，在 dp 表最后⾯添加⼀⾏，并且添加⼀列后，所有的值都先初始化为⽆穷⼤，然后让dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1 即可。

4. 填表顺序：
   根据「状态转移⽅程」，我们需要「从下往上填每⼀⾏」，「每⼀⾏从右往左」。

5. 返回值：
   根据「状态表⽰」，我们需要返回 dp[0][0] 的值

🚩代码实现

class Solution {public int calculateMinimumHP(int[][] d) {// 1. 创建 dp 表// 2. 初始化// 3. 填表// 4. 返回值int m = d.length;int n = d[0].length;int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];for(int j = 0; j <= n; j++) {dp[m][j] = Integer.MAX_VALUE;}for(int i = 0; i <= m; i++) {dp[i][n] = Integer.MAX_VALUE;}dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1;for(int i = m - 1; i >= 0; i--) {for(int j = n - 1; j >= 0; j--) {dp[i][j] = Math.min(dp[i][j + 1], dp[i + 1][j]) - d[i][j];dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], 1);}}return dp[0][0];}
}

⭕总结

关于《【算法优选】 动态规划之路径问题——贰》就讲解到这儿，感谢大家的支持，欢迎各位留言交流以及批评指正，如果文章对您有帮助或者觉得作者写的还不错可以点一下关注，点赞，收藏支持一下！