导行电磁波从纵向场分量求其他方向分量的矩阵表示

导行电磁波从纵向场分量求解其他方向分量的矩阵表示

导行电磁波传播的特点

电磁波在均匀、线性、各向同性的空间中沿着$z$轴传播，可用分离变量法将时间轴、$z$轴与$x,y$轴分离，电磁波的形式可表示为：
$$\begin{array}{rl}\vec{E}& =\vec{E}(x,y){\text{e}}^{-\gamma z}{\text{e}}^{j\omega t}\\ \vec{H}& =\vec{H}(x,y){\text{e}}^{-\gamma z}{\text{e}}^{j\omega t}\end{array}$$

纵向场分量的求解导行电磁波的电场和磁场

对于这种波的求解，可以先求出电场、磁场在$z$轴的分量，然后根据，然后再根据麦克斯韦方程组求出电磁场在$x,y$, 由导行电磁波的数学表达式(1), (2)可知，$\frac{\partial }{\partial z}{H}_x=-\gamma H_x$, $\frac{\partial }{\partial z}{H}_y=-\gamma H_y$,$\frac{\partial }{\partial z}{E}_x=-\gamma E_x$,$\frac{\partial }{\partial z}{E}_y=-\gamma E_y$.

从纵向场分量求解其他方向电场和磁场分量及其矩阵表示

麦克斯韦方程组可表示如下：
$$\begin{array}{rl}\nabla \times \vec{H}& =\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}+\vec{J}\\ \nabla \times \vec{E}& =-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\ \nabla \cdot \vec{D}& =\rho \\ \nabla \cdot \vec{B}& =0\end{array}$$
如果已知$H_z,E_z$并且知道导行电磁波的形式如公式（1）和（2）所示，并认为传播空间中不存在电荷与电流，$\vec{J}=0,\rho =0$，方程式（3）-（4）可表示为：

$$\begin{array}{rl}\nabla \times \vec{H}& =\left[\begin{array}{ccc}i& j& k\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ H_x& H_y& H_z\end{array}\right]=j\omega \epsilon \vec{E}\\ \nabla \times \vec{E}& =\left[\begin{array}{ccc}i& j& k\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ E_x& E_y& E_z\end{array}\right]=-j\omega \mu \vec{H}\end{array}$$
将（7）式 $x$ 分量展开得到（9），将（8）式 $y$ 分量展开得到（10）
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial y}{H}_z+\gamma H_y& =j\omega \epsilon E_x\\ \frac{\partial }{\partial x}{E}_z+\gamma E_x& =j\omega \mu H_y\end{array}$$
根据（9）和（10），得到用$H_z,E_z$表示的$H_y,E_x$：

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{E}_x\\ H_y\end{array}\right]& =-\frac{1}{k_c^2}\left[\begin{array}{cc}\gamma & j\omega \mu \\ j\omega \epsilon & \gamma \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial x}& 0\\ 0& \frac{\partial }{\partial y}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{E}_z\\ H_z\end{array}\right]\end{array}$$

将（7）式 $y$ 分量展开得到（12），将（8）式 $x$ 分量展开得到（13）
$$\begin{array}{rl}-\frac{\partial }{\partial x}{H}_z-\gamma H_x& =j\omega \epsilon E_y\\ \frac{\partial }{\partial y}{E}_z+\gamma E_x& =j\omega \mu H_x\end{array}$$
根据（12）和（13），得到用$H_z,E_z$表示的$H_x,E_y$：

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{E}_y\\ H_x\end{array}\right]& =-\frac{1}{k_c^2}\left[\begin{array}{cc}\gamma & -j\omega \mu \\ -j\omega \epsilon & \gamma \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial y}& 0\\ 0& \frac{\partial }{\partial x}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{E}_z\\ H_z\end{array}\right]\end{array}$$