算法学习系列（十五）：最小堆、堆排序

引言

这个堆排序的话，考的还挺多的，主要是构建最小堆，并且在很多情况下某些东西还用得着它来优化，比如说迪杰斯特拉算法可以用最小堆优化，然后面试和考研用的也是挺多的，总之开始吧。

一、最小堆概念

本文只讲述最小堆，其一这个用的最多，而且跟最大堆来说其实都是差不多的，就一个小于一个大于

最小堆：首先是一个完全二叉树，然后每个结点都小于或等于其两个儿子，性质：根结点是整个堆的最小值。因为父亲是最小的，然后儿子又作为其儿子的父亲，也是其最小的，所以推出堆根是最小的。

存储方式：是用数组来存的，i 号下标的儿子为 2 * i，2 * i + 1，i 号下标的父亲为 i / 2

STL：优先级队列就是最小堆

二、堆排序模板（最小堆）

整体思路：先构建一个最小堆，然后输出堆根，再把堆根删了，再次构建，重复往返
删除堆根：用 h[size] 覆盖 h[1] ,size-- ，down(1)
这个模板我们用例题来说明

输入一个长度为 n 的整数数列，从小到大输出前 m 小的数。输入格式
第一行包含整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。输出格式
共一行，包含 m 个整数，表示整数数列中前 m 小的数。数据范围
1≤m≤n≤105，1≤数列中元素≤109输入样例：
5 3
4 5 1 3 2输出样例：
1 2 3

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>using namespace std;const int N = 1e5+10;int h[N];  //h[i]代表第堆中的i号下标对应的值
int n, m, cnt;  //cnt代表堆中的数量//元素变小了，就up
void up(int u)
{while(u / 2 && h[u / 2] > h[u])  //若u>=1 并且比父亲大就交换，然后u变成父亲继续判断{swap(h[u], h[u/2]);u >>= 1;}
}//元素变大了，就down
void down(int u)  //将下标为u的元素下移
{int t = u;if(u * 2 <= cnt && h[2 * u] < h[t]) t = 2 * u;  if(u * 2 + 1 <= cnt && h[2 * u + 1] < h[t]) t = 2 * u + 1;  //判断最小的值tif(t != u)  //若有一个儿子比自己小{swap(h[u], h[t]);  //交换值down(t);  //再次判断这个儿子}
}int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &h[i]);cnt = n;for(int i = cnt / 2; i; --i) down(i);  //从倒数第二层的元素开始down到根，可以构建一个最小堆while(m--){printf("%d ", h[1]);  //每次都是堆根的元素最小swap(h[1], h[cnt]);cnt--;down(1);}return 0;
}

三、模拟堆

我们还是用例题来说明
然后这个有一个要求就是要对第k个插入的元素进行操作，但是我们又不知道第k个元素是谁，只知道下标，所以得维护两个数组ph[i] ，hp[i]，代表ph[k] == i，hp[i] == k，h[i] == a

维护一个集合，初始时集合为空，支持如下几种操作：
I x，插入一个数 x；
PM，输出当前集合中的最小值；
DM，删除当前集合中的最小值（数据保证此时的最小值唯一）；
D k，删除第 k 个插入的数；
C k x，修改第 k 个插入的数，将其变为 x；现在要进行 N 次操作，对于所有第 2 个操作，输出当前集合的最小值。输入格式
第一行包含整数 N。
接下来 N 行，每行包含一个操作指令，操作指令为 I x，PM，DM，D k 或 C k x 中的一种。输出格式
对于每个输出指令 PM，输出一个结果，表示当前集合中的最小值。每个结果占一行。数据范围
1≤N≤105
−109≤x≤109
数据保证合法。输入样例：
8
I -10
PM
I -10
D 1
C 2 8
I 6
PM
DM输出样例：
-10
6

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>using namespace std;const int N = 1e5+10;int h[N], hp[N], ph[N];
int n, cnt, idx;void swap_heap(int a, int b)
{swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);swap(hp[a],hp[b]);swap(h[a], h[b]);
}void up(int u)
{while(u / 2 && h[u] < h[u / 2]){swap_heap(u, u/2);u >>= 1;}
}void down(int u)
{int t = u;if(u * 2 <= cnt && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;if(u * 2 + 1 <= cnt && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;if(t != u){swap_heap(t,u);down(t);}
}int main()
{scanf("%d", &n);while(n--){char op[5];int k, x;scanf("%s", op);if(!strcmp(op,"I")){scanf("%d", &x);cnt++, idx++;h[cnt] = x;hp[cnt] = idx, ph[idx] = cnt;up(cnt);}else if(!strcmp(op,"PM")){printf("%d\n", h[1]);}else if(!strcmp(op,"DM")){swap_heap(1,cnt);cnt--;down(1);}else if(!strcmp(op,"D")){scanf("%d", &k);k = ph[k];swap_heap(k, cnt);cnt--;up(k);down(k);}else{scanf("%d%d", &k, &x);k = ph[k];h[k] = x;up(k);down(k);}}return 0;
}