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matlab数值计算函数--ode45

当难以求得微分方程的解析解时,可以求其数值解,Matlab中求微分方程数值解的函数有七个:ode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb。本文讲解ode45,其实原理都是相似的。

一、函数语法

ode45函数的形式张下面的样子

[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
  • odefun: 函数句柄,用于表示ODE的右侧,例如:dy/dt=f(t,y),可以写为f。函数句柄可以是函数,也可以是匿名函数或者内联函数
  • tspan: 时间区间,可以是一个向量,也可是一个区间(如[t0,tf])。
  • y0: 初始条件,可以是一个向量。
  • options: 可选参数,常用于控制ODE45的行为,如精度、步长等。
二、示例

我们举一个自由落体的例子来讲解ode45这个函数
{ x ˙ = v v ˙ = g \begin{cases} \dot x = v \\ \dot v = g \\ \end{cases} {x˙=vv˙=g
其中 x x x 为位置, v v v 为速度, g g g 为重力加速度,设置初始值均为 0

clc;clear;% 初始状态
state0 = [0,0];
% 时间区间
t = [0,10];
% 运算,得到T为时间点,Y为对应时间点的状态
[T,Y] = ode45(@odefunc, t, state0);% 绘图
figure(1)
plot(T,Y(:,1));
xlabel('t(s)');
ylabel('x')figure(2)
plot(T,Y(:,2));
xlabel('t(s)');
ylabel('v')% 写微分方程
function dy = odefunc(t, y)g = 9.8;dy = zeros(2,1);% 这里也就是求出微分方程中状态的导数dy(1) = y(2);dy(2) = g;
end

其中在 odefunc 函数中, y y y 就可以认为是状态,而我们要给出的是下一拍状态的导数。 t t t 是时间范围,这里我们指定为0-10秒,state0 指的是初始状态,这里全部设定为0。T 是返回的时间点,因为ode45每一拍之间的时间间隔并不相同,他会自适应,所以需要记录下时间间隔,Y 是返回的每个时间下的状态,由于我们有两个状态,所以Y有两列。

得到位置和速度的图像
请添加图片描述
请添加图片描述

三、参数

设置参数就是设置 options ,这是一个结构体,

  • ‘RelTol’: 相对精度,默认为1e-3。
  • ‘AbsTol’: 绝对精度,默认为1e-6。
  • ‘InitialStep’: 初始步长。
  • ‘MaxStep’: 最大步长。
  • ‘Events’: 事件函数,用于检测ODE的事件点,如极值点、零点等。

如果我们想自己设置的话就是

 options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-8);[T,Y] = ode45(@odefunc, t, state0);

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