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逆矩阵计算

news 2025/12/15 11:20:26

一、逆矩阵的定义

核心：AB = BA = E

1）定义

2）注意

3）逆矩阵存在的条件|A| != 0

二、核心公式：

三、求逆矩阵（核心考点）

1、伴随矩阵法

2、初等变换法（重点掌握！！）

3、如何理解？

4、什么是初等矩阵？

5、三个基本的初等变换

一、逆矩阵的定义

核心：AB = BA = E

1）定义

A、B为同阶矩阵，如果存在AB = BA = E，即称B为A的逆矩阵，同理，A也是B的逆矩阵。

记作 $A^{-1}$

2）注意

1）不是所有的矩阵都存在逆矩阵

2）只有方阵才存在逆矩阵

3）如果逆矩阵存在，逆矩阵唯一

3）逆矩阵存在的条件|A| != 0

二、核心公式： $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^{}$

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} *A^{*}$

三、求逆矩阵（核心考点）

1、伴随矩阵法

这个方法很操蛋，但凡正常理智的人都不会这样去算，因为这是根据公式 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} *A^{*}$ 来计算的，需要计算出|A|和伴随 $A^{*}$ ，计算量可想而知，因此事实上伴随阵就是属于所谓鸡肋，食之无味，弃之可惜。

2、初等变换法（重点掌握！！）

例题：求A的逆矩阵 $A^{-1}$ ？

1）写出（A,E）

2）利用初等变换，行列均可，将A化成单位阵；同时，右边的单位阵E也进行与A相同的初等变换。通俗来说，就是A怎么变，E也怎么变。举个例子，A中的第1行和第3行交换，E也第1行和第3行交换。最后，当A化为单位阵，E就是 $A^{-1}$ 。

3、如何理解？

其实非常简单，对于两个矩阵（A，E），

将 $A^{-1}$ 带进去后：（A $A^{-1}$ ，E $A^{-1}$ ），

你会发现：

A $A^{-1}$ = E

E $A^{-1}$ = $A^{-1}$

这个括号内的东西，就是我们要求的逆矩阵。

为什么可以这样呢？

因为我们做的一系列的变换，

事实上，本质上，就是对A和E都乘以一个 $A^{-1}$ ，对不对？

而，要理解这个计算的关键点在于：一个可逆矩阵可以写成一系列初等矩阵的乘积

所以，事实上，我们是将 $A^{-1}$ 化成了一系列的初等矩阵。

4、什么是初等矩阵？

对单位阵进行一次初等变换所得到的矩阵叫做初等矩阵。

5、三个基本的初等变换

1、某两行（列）交换位置

2、某一行（列）乘某一个数

3、某一行（列）乘以某一个数加到另一行（列）

注意：A左乘一个初等矩阵，相当于对A做相应的初等行变换

A右乘一个初等矩阵，相当于对A做相应的初等列变换

一、逆矩阵的定义

核心：AB = BA = E

1）定义

2）注意

3）逆矩阵存在的条件|A| != 0

二、核心公式：

三、求逆矩阵（核心考点）

1、伴随矩阵法

2、初等变换法（重点掌握！！）

3、如何理解？

4、什么是初等矩阵？

5、三个基本的初等变换

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二、核心公式： $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^{}$