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逆矩阵计算

目录

一、逆矩阵的定义

核心:AB = BA = E

1)定义

2)注意

3)逆矩阵存在的条件|A|  != 0

二、核心公式:

三、求逆矩阵(核心考点)

1、伴随矩阵法

2、初等变换法(重点掌握!!)

3、如何理解?

4、什么是初等矩阵?

5、三个基本的初等变换


一、逆矩阵的定义

核心:AB = BA = E

1)定义

A、B为同阶矩阵,如果存在AB = BA = E,即称B为A的逆矩阵,同理,A也是B的逆矩阵。

记作A^{-1}

2)注意

1)不是所有的矩阵都存在逆矩阵

2)只有方阵才存在逆矩阵

3)如果逆矩阵存在,逆矩阵唯一

3)逆矩阵存在的条件|A|  != 0

二、核心公式:A^{-1} = \frac{1}{|A|} *A^{*}

A^{-1} = \frac{1}{|A|} *A^{*}

三、求逆矩阵(核心考点)

1、伴随矩阵法

这个方法很操蛋,但凡正常理智的人都不会这样去算,因为这是根据公式A^{-1} = \frac{1}{|A|} *A^{*}来计算的,需要计算出|A|和伴随A^{*},计算量可想而知,因此事实上伴随阵就是属于所谓鸡肋,食之无味,弃之可惜。

2、初等变换法(重点掌握!!)

例题:求A的逆矩阵A^{-1}

1)写出(A,E)

2)利用初等变换,行列均可,将A化成单位阵;同时,右边的单位阵E也进行与A相同的初等变换。通俗来说,就是A怎么变,E也怎么变。举个例子,A中的第1行和第3行交换,E也第1行和第3行交换。最后,当A化为单位阵,E就是A^{-1}

3、如何理解?

其实非常简单,对于两个矩阵(A,E),

A^{-1}带进去后:(AA^{-1},EA^{-1}),

你会发现:

AA^{-1} = E

EA^{-1} = A^{-1}

这个括号内的东西,就是我们要求的逆矩阵。

为什么可以这样呢?

因为我们做的一系列的变换,

事实上,本质上,就是对A和E都乘以一个A^{-1},对不对?

而,要理解这个计算的关键点在于:一个可逆矩阵可以写成一系列初等矩阵的乘积

所以,事实上,我们是将A^{-1}化成了一系列的初等矩阵。

4、什么是初等矩阵?

单位阵进行一次初等变换所得到的矩阵叫做初等矩阵。

5、三个基本的初等变换

1、某两行(列)交换位置

2、某一行(列)乘某一个数

3、某一行(列)乘以某一个数加到另一行(列)

注意:A乘一个初等矩阵,相当于对A做相应的初等变换

          A乘一个初等矩阵,相当于对A做相应的初等变换

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