动态规划Day06(完全背包)

完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

同样leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题，所以我这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理。

每件物品可以放入多次

为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？

01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！

因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

518.零钱兑换II(两次)

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给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

• 输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
• 输出: 4

解释: 有四种方式可以凑成总金额:

• 5=5
• 5=2+2+1
• 5=2+1+1+1
• 5=1+1+1+1+1

看到题目的第一想法

       确定可以凑成dp的组合数

        但是相同面额的可以重复，使用完全背包

看到代码随想录之后的想法

        确定dp数组以及每个下标的含义

        dp[j] 为0~i之间能凑成j金额所需要的次数

         i为coins下标

        确定递推公式

        选中coins[i] ，则一共有j-coins[i]种能凑成j 

        再加上本身的dp[j] ，就知道添加了coins[i]后一共要多少次

        dp[j] = dp[j] + dp[j-coins[i]]

         确定遍历顺序

        可以重复添加物品，则从前往后

        dp数组初始化

         dp[0]=1为一切的源头，其他都为0

        举例推导dp数组

        

自己实现过程中遇到的困难

        我自己写成了  max(dp[j]，dp[j-weight[i]]+1) 记混了

        要理解组合数，求的是能凑成j的数目，需要累加j-coins[i]

class Solution {public int change(int amount, int[] coins) {//有多少种方式可以凑成对应面额// 确定dp数组以及每个下标的的含义// 能凑成目标金额的最大个数// 确定递推公式// dp[i]+=dp[i-nums[i]]// dp数组初始化// dp[0]=1;其他都为0// 确定遍历顺序// 从前往后，因为可以重复// 手动推导dp数组// 打印dp数组int dp[] = new int[amount+1];dp[0]=1;for(int i=0;i<coins.length;i++){//从前往后for(int j=coins[i];j<=amount;j++){dp[j]=dp[j]+dp[j-coins[i]];}}return dp[amount];}
}

377. 组合总和 Ⅳ

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难度：中等

给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组，找出和为给定目标正整数的组合的个数。

示例:

• nums = [1, 2, 3]
• target = 4

所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1)

请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

因此输出为 7。

看到题目的第一想法

        可以凑成目标正整数的组合的个数。

        和零钱兑换II差不多

看到代码随想录之后的想法

        确定dp数组以及每个下标的含义

        dp[j] 为0~i之间能凑成target所需要的次数

         i为nums下标

        确定递推公式

        选中nums[i] ，则一共有j-nums[i]种能凑成j 

        再加上本身的dp[j] ，就知道添加了nums[i]后一共要多少次

        dp[j] = dp[j] + dp[j-nums[i]]

         确定遍历顺序

        可以重复添加物品，则从前往后

        比如说 (1231) 若可以凑成target

        如果先物品后背包  物品1 遍历完后  ，将再也不会遍历到1，之后遍历的是物品2，3，4

        所以必须先背包后物品

        外层循环是背包容量，物品按照 1 2 3 4的顺序，依次遍历 则 遍历完1,2,3还能遍历回1

        dp数组初始化

         dp[0]=1为一切的源头，其他都为0

        举例推导dp数组

        

自己实现过程中遇到的困难

        需要确认组合数和排列数的区别(看代码注释)

         组合数： 不强调顺序，不同顺序的都视为一个集合，必须先物品再背包
         排列数： 本题不同的地方在于不同顺序的视为不同集合，则必须先背包再物品
        

class Solution {public int combinationSum4(int[] nums, int target) {// 组合数：先遍历物品再遍历背包：每次选中一个物品都会遍历所有背包 1号物品一定在2号物品的前面// 排列数：先遍历背包再遍历物品：则每次选中一个背包都会遍历所有物品 每次都是 1号物品，2号物品。。。。 // 第二次 1号物品2号物品  1 2 交替 // 确定dp数组，以及对应下标的含义// 在0~i中满足总和为j的元素的个数,背包重量nums[i]  背包价值nums[i]// 确定递推公式// dp[j]+=dp[j-nums[i]]// dp数组的初始化// dp[0]=1 // 确定遍历顺序// 可以重复 从前往后// 组合数： 不强调顺序，不同顺序的都视为一个集合，必须先物品再背包// 排列数： 本题不同的地方在于不同顺序的视为不同集合，则必须先背包再物品// 手动推导dp数组int[] dp = new int[target+1];dp[0]=1;for(int j=0;j<=target;j++){for(int i=0;i<nums.length;i++){if(j>=nums[i]){dp[j]+=dp[j-nums[i]];}}}return dp[target];}
}