数据结构之树和二叉树定义

  数据结构是程序设计的重要基础，它所讨论的内容和技术对从事软件项目的开发有重要作用。学习数据结构要达到的目标是学会从问题出发，分析和研究计算机加工的数据的特性，以便为应用所涉及的数据选择适当的逻辑结构、存储结构及其相应的操作方法，为提高利用计算机解决问题的效率服务。
  数据结构是指数据元素的集合及元素间的相互关系和构造方法。元素之间的相互关系是数据的 逻辑结构，数据元素及元素之间关系的存储称为 存储结构(或物理结构)。数据结构按照逻辑关系的不同分为 线性结构和 非线性结构两大类，其中，非线性结构又可分为树结构和图结构。
  树结构是一种非常重要的非线性结构，该结构中的一个数据元素可以有两个或两个以上的直接后继元素，树可以用来描述客观世界中广泛存在的层次结构关系。

1、树的定义

  树是 n(n≥0)个结点的有限集合，当 n=0 时称为空树。在任一非空树(n>0)中，有且仅有一个称为根的结点；其余结点可分为 m(m≥0)个互不相交的有限子集 T₁,T₂,···,T_m，其中，每个 T_i 又都是一棵树，并且称为根结点的子树。
  树的定义是递归的，它表明了树本身的固有特性，也就是一棵树由若干棵子树构成，而子树又由更小的子树构成。
  该定义只给出了树的组成特点，若从数据结构的逻辑关系角度来看，树中元素之间有严格的层次关系。对于树中的某个结点，它最多只和上一层的一个结点(即其双亲结点) 有直接的关系，而与其下一层的多个结点(即其孩子结点)有直接关系，如下图所示。通常，凡是分等级的分类方案都可以用具有严格层次关系的树结构来描述。

2、树的基本概念

  （1）双亲、孩子和兄弟。结点的子树的根称为该结点的孩子；相应地，该结点称为其子结点的双亲。具有相同双亲的结点互为兄弟。
  （2） 结点的度。一个结点的子树的个数记为该结点的度。例如，上图中，A 的度为 3，B的度为2，C的度为 0，D的度为 1。
  （3） 叶子结点。叶子结点也称为终端结点，指度为0的结点。例如，上图 中，E、F、C、G都是叶子结点。
  （4）内部结点。度不为 0的结点，也称为分支结点或非终端结点。除根结点以外，分支结点也称为内部结点。例如，上图中，B、D 都是内部结点。
  （5）结点的层次。根为第一层，根的孩子为第二层，依此类推，若某结点在第 i 层，则其孩子结点在第 i+1 层。例如，上图 中，A 在第1层，B、C、D在第2层，E、F 和G在第3层。
  （6）树的高度。一棵树的最大层数记为树的高度(或深度)。例如，上图所示树的高度为 3。
  （7）有序(无序)树。若将树中结点的各子树看成是从左到右具有次序的，即不能交换，则称该树为有序树，否则称为无序树。

3、二叉树的定义

  二叉树是 n(n≥0)个结点的有限集合，它或者是空树(n=0)，或者是由一个根结点及两棵不相交的且分别称为左、右子树的二叉树所组成。可见，二叉树同样具有递归性质。
  需要特别注意的是，尽管树和二叉树的概念之间有许多联系，但它们是两个不同的概念。树和二叉树之间最主要的区别是：二叉树中结点的子树要区分左子树和右子树，即使在结点只有一棵子树的情况下，也要明确指出该子树是左子树还是右子树。另外，二叉树结点最大度为2，而树中不限制结点的度数，如下图所示。