《动手学深度学习(PyTorch版)》笔记3.1

Chapter3 Linear Neural Networks

3.1 Linear Regression

3.1.1 Basic Concepts

我们通常使用$n$来表示数据集中的样本数。对索引为$i$的样本，其输入表示为${\mathbf{x}}^{(i)}=[x_1^{(i)},x_2^{(i)},...,x_n^{(i)}{]}^{\top }$，其对应的标签是$y^{(i)}$。

3.1.1.1 Linear Model

在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。当我们的输入包含$d$个特征时，我们将预测结果$\hat{y}$（通常使用“尖角”符号表示$y$的估计值）表示为：

$$\hat{y}=w_1{x}_1+...+w_d{x}_d+b.$$

将所有特征放到向量$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^d$中，并将所有权重放到向量$\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^d$中，我们可以用点积形式来简洁地表达模型：

$$\hat{y}={\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{x}+b\text{\hspace{1em}(1)}$$

在式(1)中，向量$\mathbf{x}$对应于单个数据样本的特征。用符号表示的矩阵$\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$可以很方便地引用我们整个数据集的$n$个样本。其中，$\mathbf{X}$的每一行是一个样本，每一列是一种特征。对于特征集合$\mathbf{X}$，预测值$\hat{\mathbf{y}}\in {\mathbb{R}}^n$可以通过矩阵-向量乘法表示为：

$$\hat{\mathbf{y}}=\mathbf{Xw}+b$$

给定训练数据特征$\mathbf{X}$和对应的已知标签$\mathbf{y}$，线性回归的目标是找到一组权重向量$\mathbf{w}$和偏置$b$：当给定从$\mathbf{X}$的同分布中取样的新样本特征时，这组权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。

虽然我们相信给定$\mathbf{x}$预测$y$的最佳模型会是线性的，但我们很难找到一个有$n$个样本的真实数据集，其中对于所有的$1\le i\le n$，$y^{(i)}$完全等于${\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b$。无论我们使用什么手段来观察特征$\mathbf{X}$和标签$\mathbf{y}$，都可能会出现少量的观测误差。因此，即使确信特征与标签的潜在关系是线性的，我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。

在开始寻找最好的模型参数（model parameters$\mathbf{w}$和$b$之前，
我们还需要两个东西：

• 一种模型质量的度量方式；
• 一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。

3.1.1.2 Loss Function

在我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。
损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。当样本$i$的预测值为${\hat{y}}^{(i)}$，其相应的真实标签为$y^{(i)}$时，
平方误差可以定义为以下公式：

$$l^{(i)}(\mathbf{w},b)=\frac{1}{2}{\left({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)}\right)}^2.$$

常数$\frac{1}{2}$不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些（因为当我们对损失函数求导后常数系数为1）。由于训练数据集并不受我们控制，所以经验误差只是关于模型参数的函数。由于平方误差函数中的二次方项，估计值${\hat{y}}^{(i)}$和观测值$y^{(i)}$之间较大的差异将导致更大的损失。为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集$n$个样本上的损失均值（也等价于求和）。

$$L(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right)}^2.$$

在训练模型时，我们希望寻找一组参数（${\mathbf{w}}^{\ast },b^{\ast }$），这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式：

$${\mathbf{w}}^{\ast },b^{\ast }=\underset{\mathbf{w},b}{\mathrm{argmin}}L(\mathbf{w},b).$$

3.1.1.3 Analytical Solution

线性回归有解析解（analytical solution）。首先，我们将偏置$b$合并到参数$\mathbf{w}$中，合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。我们的预测问题是最小化$\Vert \mathbf{y}-\mathbf{Xw}{\Vert }^2$。这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失极小点。将损失关于$\mathbf{w}$的导数设为0，即
$${\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{Xw}={\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{y}$$
得到解析解：

$${\mathbf{w}}^{\ast }=({\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{X}{)}^{-1}{\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{y}$$

像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。

3.1.1.4 Stochastic Gradient Descent

我们用到一种名为梯度下降（gradient descent）的方法，几乎可以优化所有深度学习模型。它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值）关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本，这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。

在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量$\mathcal{B}$，它是由固定数量的训练样本组成的。然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数$\eta$，并从当前参数的值中减掉。

我们用下面的数学公式来表示这一更新过程，其中$\mathbf{w}$和$\mathbf{x}$都是向量,$|\mathcal{B}|$表示每个小批量中的样本数，称为批量大小（batch size）。
$\eta$表示学习率（learning rate）。

$$(\mathbf{w},b)\leftarrow (\mathbf{w},b)-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\partial }_{(\mathbf{w},b)}{l}^{(i)}(\mathbf{w},b).$$

总而言之，算法的步骤如下：
（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；
（2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。
对于平方损失和仿射变换，可以写成如下形式:

$$\begin{array}{rl}\mathbf{w}& \leftarrow \mathbf{w}-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\partial }_{\mathbf{w}}{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=\mathbf{w}-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\mathbf{x}}^{(i)}\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right)\text{ (关于w的偏导)}\\ b& \leftarrow b-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\partial }_b{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=b-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right)\text{ (关于b的偏导)}\end{array}$$

批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的，而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。

在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后），我们记录下模型参数的估计值，表示为$\hat{\mathbf{w}},\hat{b}$。但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。
线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题,但是对像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数，使得在训练集上的损失达到最小。事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失,这一挑战被称为泛化（generalization）。

3.1.1.5 Using Models for Prediction

给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。但在统计学中，推断更多地表示基于数据集估计参数。

3.1.2 Vectorization Acceleration

在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。为了实现这一点，需要我们对计算进行矢量化，从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环，即使用：

n = 10000
a = torch.ones([n])
b = torch.ones([n])
c=a+b

而不是：

c = torch.zeros(n)
for i in range(n):c[i] = a[i] + b[i]

3.1.3 Normal Distribution and Squared Loss

噪声正态分布如下式:

$$y={\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{x}+b+ϵ,$$

其中，$ϵ\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$。

因此，我们现在可以写出通过给定的$\mathbf{x}$观测到特定$y$的似然（likelihood）：

$$P(y\mid \mathbf{x})=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{1}{2{\sigma }^2}(y-{\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{x}-b{)}^2\right).$$

现在，根据极大似然估计法，参数$\mathbf{w}$和$b$的最优值是使整个数据集的似然最大的值：

$$P(\mathbf{y}\mid \mathbf{X})=\prod _{i=1}^{n}p(y^{(i)}|{\mathbf{x}}^{(i)}).$$

根据极大似然估计法选择的估计量称为极大似然估计量。虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难，但是我们可以在不改变目标的前提下，通过最大化似然对数来简化。由于历史原因，优化通常是说最小化而不是最大化。我们可以改为最小化负对数似然$-\log P(\mathbf{y}\mid \mathbf{X})$。由此可以得到的数学公式是：

$$-\log P(\mathbf{y}\mid \mathbf{X})=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}\log (2\pi {\sigma }^2)+\frac{1}{2{\sigma }^2}{\left(y^{(i)}-{\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}-b\right)}^2.$$

现在我们只需要假设$\sigma$是某个固定常数就可以忽略第一项，现在第二项除了常数$\frac{1}{{\sigma }^2}$外，其余部分和前面介绍的均方误差是一样的。因此，在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。

3.1.4 From Linear Regression to Deep Networks

我们可以用描述神经网络的方式来描述线性模型，从而把线性模型看作一个神经网络。

首先，我们用“层”符号来重写这个模型。深度学习从业者喜欢绘制图表来可视化模型中正在发生的事情。我们将线性回归模型描述为一个神经网络。需要注意的是，该图只显示连接模式，即只显示每个输入如何连接到输出，隐去了权重和偏置的值。
在图中所示的神经网络中，输入为$x_1,\dots ,x_d$，因此输入层中的输入数（或称为特征维度，feature dimensionality）为$d$。网络的输出为$o_1$，因此输出层中的输出数是1。需要注意的是，输入值都是已经给定的，并且只有一个计算神经元。由于模型重点在发生计算的地方，所以通常我们在计算层数时不考虑输入层。也就是说，图中神经网络的层数为1。我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。对于线性回归，每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连，我们将这种变换（ 图中的输出层）称为全连接层（fully-connected layer）或称为稠密层（dense layer）。