图论：合适的环

4979. 合适的环 - AcWing题库

给定一个 n 个点 m 条边的无向图。

图中不含重边和自环。

请你在图中选出一个由三个点组成的环。

设图中一共有 x 条边满足：不在选择的环内，且与选择的环内某个点相连。

我们希望通过合理选环，使得 x 的值尽可能小。

请你输出 x 的最小可能值。

输入格式

第一行包含两个整数 n,m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 a,b，表示点 a和点 b 之间存在一条无向边。

输出格式

如果存在满足条件的环，则输出 x 的最小可能值。

否则，输出 -1。

数据范围

前 33 个测试点满足 3≤n≤10，0≤m≤10。
所有测试点满足 3≤n≤4000，0≤m≤4000，1≤a,b≤n，a≠。

输入样例1：

5 6
1 2
1 3
2 3
2 4
3 4
4 5

输出样例1：

2

样例1解释

给定图中，由三个点组成的环一共有两个，分别为点 1,2,3 组成的环以及点 2,3,4 组成的环。

对于点 1,2,3 组成的环，我们逐个分析每条边是否满足：不在环内，且与环内的某个点相连。

• 边 (1,2) 在环内。
• 边 (1,3 在环内。
• 边 (2,3)在环内。
• 边 (2,4)不在环内，且与点 2 相连。
• 边 (3,4)不在环内，且与点 3 相连。
• 边 (4,5)不在环内，但是与点 1,2,3 均不相连。

因此，如果选择点 1,2,3组成的环，则 x 的值为 2。

对于点 2,3,4 组成的环，我们逐个分析每条边是否满足：不在环内，且与环内的某个点相连。

• 边 (1,2) 不在环内，且与点 2 相连。
• 边 (1,3)不在环内，且与点 3 相连。
• 边 (2,3)在环内。
• 边 (2,4) 在环内。
• 边 (3,4) 在环内。
• 边 (4,5) 不在环内，且与点 4 相连。

因此，如果选择点 2,3,4组成的环，则 x 的值为 3。

综上，x 的最小可能值为 2。

输入样例2：

7 4
2 1
3 6
5 1
1 7

输出样例2：

-1

图论问题，x 的表示选取的三个点各自和其他点连接成的线的数量之和（每个点排除共同形成环的另外两个点）， 通过二维数组 arr[i][j]存储点，表示点 i 和点 j 之间存在一条线，结构体 s[i]{a,b} 存储线表示 第 i 条线由点 a 和 点 b 相连，mp[i] 存储第  i 个点和几个点相连， 根据题意，外循环遍历线1-m，可通过 s 得到连接线的两个点 a，b，内循环遍历第三个点 c，通过 arr 判断三个点之间是否都存在线，形成环，然后通过 mp 得到 x，因为 mp 存储的点 i 连接的其他所有点数量，但 x 求的是形成环的三个点分别排除与另外两点之间的线的情况，所以三个点每个点排除两条，三个点排除 6 条，一共就是 6 条，就是 -6.

AC code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int arr[4010][4010];
int n, m;
struct s {int a, b;
} s[4010];
unordered_map<int, int> mp;
int main() {cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= m; i++) {int a, b;cin >> a >> b;s[i] = {a, b};arr[a][b]++;arr[b][a]++;mp[a]++, mp[b]++;}int ans = 2e9;for (int i = 1; i <= m; i++) {int a = s[i].a, b = s[i].b;
//		cout << a << " " << b<<endl;for (int c = 1; c <= n; c++) {if (arr[a][c] && arr[b][c]) {int res = mp[a] + mp[b] + mp[c] - 6;ans = min(res, ans);}}}if (ans != 2e9) {cout << ans;} else cout << -1;}