【射影几何13 】梅氏定理和塞瓦定理探讨
梅氏定理和塞瓦定理
目录
- 一、说明
- 二、梅涅劳斯(Menelaus)定理
- 三、塞瓦(Giovanni Ceva)定理
- 四、塞瓦点的推广
一、说明
在射影几何中,梅涅劳斯(Menelaus)定理和塞瓦定理是非常重要的基本定理。通过这两个定理,可以导出多项结论,如:极点-极线性质、德萨格定理、pascal定理等;本篇专门叙述这两个定理证明。及相关启发。
二、梅涅劳斯(Menelaus)定理
梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》(Sphaerica)中。
定理定义
当一条直线交 Δ A B C \Delta ABC ΔABC三边所在的直线 B C , A C , A B BC,AC,AB BC,AC,AB分别于点 D , E , F D,E,F D,E,F时,则有
A F F B B D D C C E E A = 1 \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}=1 FBAFDCBDEACE=1

分析:显然, D , E , F D,E,F D,E,F分别为线段 B C , A C , A B BC,AC,AB BC,AC,AB的定比分点。因此:
A F F B = λ 1 ; B D D C = λ 2 ; C E E A = λ 3 \frac{AF}{FB}=\lambda_1 ; \; \frac{BD}{DC} =\lambda_2;\frac{CE}{EA}=\lambda_3 FBAF=λ1;DCBD=λ2;EACE=λ3
因此,等价说法是:
λ 1 λ 2 λ 3 = 1 \lambda_1 \lambda_2\lambda_3=1 λ1λ2λ3=1
[定理证明]
过点A作 A G ∥ D B AG\parallel DB AG∥DB交 B C BC BC的延长线于G点, 则:
A F F B = λ 1 = D G B D \frac{AF}{FB}=\lambda_1=\frac{DG}{BD} FBAF=λ1=BDDG
C E E A = λ 3 = C D D G \frac{CE}{EA}=\lambda_3=\frac{CD}{DG} EACE=λ3=DGCD
∴ A F F B B D D C C E E A = λ 1 λ 2 λ 3 = D G B D B D D C C D D G = 1 \therefore \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}= \lambda_1 \lambda_2\lambda_3=\frac{DG}{BD} \frac{BD}{DC}\frac{CD}{DG}=1 ∴FBAFDCBDEACE=λ1λ2λ3=BDDGDCBDDGCD=1
[证毕]
三、塞瓦(Giovanni Ceva)定理
塞瓦(Giovanni Ceva,1648~1734)意大利水利工程师,数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书,也有书中说塞瓦定理是塞瓦重大发现。
【定理说明】
塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O,延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。

分析:

四、塞瓦点的推广
当塞瓦点在三角形外部,如下图:🔺ABC的三条线段的交点O位于三角形ABC的外部:
A F F B B D D C C E E A = 1 \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}=1 FBAFDCBDEACE=1

【证明】
B D D C = S Δ A B D S Δ A D C = S Δ O B D S Δ O D C \frac{BD}{DC} = \frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ADC}} =\frac{S_{\Delta OBD}}{S_{\Delta ODC}} DCBD=SΔADCSΔABD=SΔODCSΔOBD
更比定理:
B D D C = S Δ A B D − S Δ O B D S Δ A D C − S Δ O B D = S Δ O B A S Δ C A O \frac{BD}{DC} = \frac{S_{\Delta ABD}-S_{\Delta OBD}}{S_{\Delta ADC}-S_{\Delta OBD}} =\frac{S_{\Delta OBA}}{S_{\Delta CAO}} DCBD=SΔADC−SΔOBDSΔABD−SΔOBD=SΔCAOSΔOBA
C E E A = S Δ B C O S Δ A B O \frac{CE}{EA} = \frac{S_{\Delta BCO}}{S_{\Delta ABO}} EACE=SΔABOSΔBCO
A F F B = S Δ C A O S Δ B C O \frac{AF}{FB} = \frac{S_{\Delta CAO}}{S_{\Delta BCO}} FBAF=SΔBCOSΔCAO
A F F B B D D C C E E A = S Δ C A O S Δ B C O S Δ O B A S Δ C A O S Δ B C O S Δ A B O = 1 \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}= \frac{S_{\Delta CAO}}{S_{\Delta BCO}}\frac{S_{\Delta OBA}}{S_{\Delta CAO}}\frac{S_{\Delta BCO}}{S_{\Delta ABO}} = 1 FBAFDCBDEACE=SΔBCOSΔCAOSΔCAOSΔOBASΔABOSΔBCO=1
【证毕】
相关文章:
【射影几何13 】梅氏定理和塞瓦定理探讨
梅氏定理和塞瓦定理 目录 一、说明二、梅涅劳斯(Menelaus)定理三、塞瓦(Giovanni Ceva)定理四、塞瓦点的推广 一、说明 在射影几何中,梅涅劳斯(Menelaus)定理和塞瓦定理是非常重要的基本定理。通过这两个定…...
Powershell Install 一键部署Openssl+certificate证书创建
前言 Openssl 是一个方便的实用程序,用于创建自签名证书。您可以在所有操作系统(如 Windows、MAC 和 Linux 版本)上使用 OpenSSL。 Windows openssl 下载 前提条件 开启wmi,配置网卡,参考 自签名证书 创建我们自己的根 CA 证书和 CA 私钥(我们自己充当 CA)创建服务器…...
SERVLET线程模型
1. SERVLET线程模型 Servlet规范定义了两种线程模型来阐明Web容器应该如何在多线程环境中处理servlet。第一种模型称为多线程模型,默认在此模型内执行所有servlet。在此模型中,每次客户机向servlet发送请求时Web容器都启动一个新线程。这意味着可能有多个线程同时访问servle…...
【开源】基于JAVA+Vue+SpringBoot的新能源电池回收系统
目录 一、摘要1.1 项目介绍1.2 项目录屏 二、功能模块2.1 用户档案模块2.2 电池品类模块2.3 回收机构模块2.4 电池订单模块2.5 客服咨询模块 三、系统设计3.1 用例设计3.2 业务流程设计3.3 E-R 图设计 四、系统展示五、核心代码5.1 增改电池类型5.2 查询电池品类5.3 查询电池回…...
【蓝桥杯冲冲冲】Prime Gift
【蓝桥杯冲冲冲】Prime Gift 蓝桥杯备赛 | 洛谷做题打卡day31 文章目录 蓝桥杯备赛 | 洛谷做题打卡day31Prime Gift题面翻译题目描述输入格式输出格式样例 #1样例输入 #1样例输出 #1 样例 #2样例输入 #2样例输出 #2 提示题解代码我的一些话 Prime Gift 题面翻译 给你 n n n 个…...
【PyQt】06-.ui文件转.py文件
文章目录 前言方法一、基本脚本查看自己的uic安装目录 方法二、添加到扩展工具里面(失败了)方法二的成功步骤总结 前言 方法一、基本脚本 将Qt Designer(一种图形用户界面设计工具)生成的.ui文件转换为Python代码的脚本。 pytho…...
λ-矩阵知识点
原文:链接 λ-矩阵 若矩阵 A \mathbf{A} A 的元素为关于 λ λ λ 的多项式,则称 A \mathbf{A} A 为 λ λ λ-矩阵 (表示为 A ( λ ) \mathbf{A}(λ) A(λ)). λ λ λ-矩阵也存在秩、逆、初等变换、相抵的概念, 但是有一些不同. 定义. λ λ λ-矩阵的秩是…...
cocos creator 3.x 预制体无法显示
双击预制体,进入详情页,没有显示资源 Bomb 是个预制体,但是当我双击进来什么都没有了,无法对预制体进行可视化编辑 目前我只试出来一个解决方法: 把预制体拖进Canvas文件中,这样就能展示到屏幕上ÿ…...
Tomcat之虚拟主机
1.创建存放网页的目录 mkdir -p /web/{a,b} 2.添加jsp文件 vi /web/a/index.jsp <% page language"java" import"java.util.*" pageEncoding"UTF-8"%> <html> <head><title>JSP a page</title> </head> …...
前后端数据校验
前端校验内容 前端开发中的必要校验,可以保证用户输入的数据的准确性、合法性和安全性。同时,这些校验也有助于提供良好的用户体验和防止不必要的错误提交到后端。 1、必填字段校验: 对于必填的字段,需确保用户输入了有效的数据…...
Python把png图片转成jpg图片
在Python中,您可以使用PIL(Python Imaging Library,也被称为Pillow)库来将PNG图片转换为JPG格式。以下是一个简单的示例: 首先,确保你已经安装了Pillow库。如果没有安装,可以使用pip来安装&…...
STM32搭建开发环境
常用开发工具简介 集成开发环境 MDK:全名RealViewMDK,是Keil公司(已被ARM收购的)一款集成开发环境,界面美观,简单易用,是STM32最常用的集成开发环境EWARM:IAR公司的一款集成开发环…...
C#入门详解_01_课程简介、C#语言简介、开发环境和学习资料的准备
文章目录 1. 课程简介2. C#语言简介3.开发环境与学习资料 1. 课程简介 开设本课程的目的 传播C#开发的知识,让更多的人有机会接触到软件开发行业引导有兴趣或者想转行的朋友进入软件开发行业 课程内容 完整讲述C#语言在实际软件开发中的应用采用知识讲述加实例程序…...
C++服务器端开发(2):确定服务器框架
选择C服务器框架时,可以考虑: 并发性能:C的强项之一是其并发性能。选择一个具有高并发处理能力的服务器框架,可以更好地满足大量并发请求的需求。例如,libevent、Boost.Asio和CppServer都是具有良好并发性能的C服务器框…...
CGAL::2D Arrangements-5
5.Arrangement无界曲线 前几章中构建和操作的所有Arrangement都只由线段引起,线段尤其是有界曲线。这样的Arrangement总是具有一个包含所有其他Arrangement特征的unbounded face。在本节中,我们将解释如何构造无界曲线的Arrangement。为了简化说明&…...
登录+JS逆向进阶【过咪咕登录】(附带源码)
JS渗透之咪咕登录 每篇前言:咪咕登录参数对比 captcha参数enpassword参数搜索enpassword参数搜索J_RsaPsd参数setPublic函数encrypt加密函数运行时可能会遇到的问题此部分改写的最终形态JS代码:运行结果python编写脚本运行此JS代码:运行结果&…...
CTF秀 ctfshow WEB入门 web1-10 wp精讲
目录 web1_查看源码 web3_抓包 web4-9_目录文件 web10_cookie web1_查看源码 ctrlu 查看源码 web3_抓包 查看源码,无果 抓包,找到flag web4-9_目录文件 GitHub - maurosoria/dirsearch: Web path scanner 下载dirsearch工具扫一下就都出来了 web4-…...
centos安装inpanel
前置条件 安装python yum -y install python 安装 cd /usr/local git clone https://gitee.com/WangZhe168_admin/inpanel.git cd inpanel python install.py 安装过程需要设置账户 密码 端口号 我设置的是admin:admin 10050 使用 打开浏览器,输入 http://192.168.168.…...
聊聊PowerJob Worker的ServerAddress
序 本文主要研究一下PowerJob Worker的ServerAddress PowerJobAutoConfiguration tech/powerjob/worker/autoconfigure/PowerJobAutoConfiguration.java BeanConditionalOnMissingBeanpublic PowerJobSpringWorker initPowerJob(PowerJobProperties properties) {PowerJobPr…...
师傅带练|大数据人工智能在线实习项目特色
大数据人工智能八大在线实习项目: 某实习网站招聘信息采集与分析 股票价格形态聚类与收益分析 某平台网络入侵用户自动识别 某平台广东省区采购数据分析 产品订单的数据分析与需求预测 基于注意力机制的评论者满意度分析 基于锅炉工况实现…...
智能客服体验问题诊断:从技术架构到优化实践
智能客服体验问题诊断:从技术架构到优化实践 智能客服作为企业与用户交互的重要窗口,其体验好坏直接影响用户满意度和业务转化率。一个响应迟钝、答非所问的客服机器人,不仅无法解决问题,反而会加剧用户的不满。本文将从一个开发者…...
RVC 技术指南:从问题解决到效率提升
RVC 技术指南:从问题解决到效率提升 【免费下载链接】rvc RVC is a Linux console UI for vSphere, built on the RbVmomi bindings to the vSphere API. 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/rvc/rvc 问题场景→核心原理→分步方案→进阶技巧 一、环…...
这次终于选对了!高效论文写作全流程一键生成论文工具推荐(2026 最新)
论文写作全流程可拆解为文献调研→选题/开题→大纲/初稿→文献综述→降重/去AI味→润色/格式→查重/投稿七大环节,以下工具按环节精准匹配,兼顾中文适配、降重能力、去AI痕迹、学术合规四大核心需求,覆盖免费/付费、通用/垂直场景。2026年&am…...
解锁虚幻引擎资源解析工具的高效解析与实战应用指南
解锁虚幻引擎资源解析工具的高效解析与实战应用指南 【免费下载链接】UEViewer Viewer and exporter for Unreal Engine 1-4 assets (UE Viewer). 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/ue/UEViewer 虚幻引擎资源解析是游戏开发与逆向工程领域的关键技术࿰…...
LuckyLilliaBot:NTQQ的终极OneBot协议插件完整指南
LuckyLilliaBot:NTQQ的终极OneBot协议插件完整指南 【免费下载链接】LuckyLilliaBot NTQQ的OneBot API插件 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/li/LuckyLilliaBot LuckyLilliaBot是一个基于TypeScript开发的NTQQ插件,为QQ客户端提供完整的…...
so-vits-svc声压级标准化终极指南:避免音质损伤的10个关键步骤
so-vits-svc声压级标准化终极指南:避免音质损伤的10个关键步骤 【免费下载链接】so-vits-svc SoftVC VITS Singing Voice Conversion 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/so/so-vits-svc 你是否在使用so-vits-svc进行语音转换时,遇到过输出…...
3个场景解密LeagueAkari:如何让英雄联盟游戏效率提升300%
3个场景解密LeagueAkari:如何让英雄联盟游戏效率提升300% 【免费下载链接】League-Toolkit 兴趣使然的、简单易用的英雄联盟工具集。支持战绩查询、自动秒选等功能。基于 LCU API。 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/le/League-Toolkit LeagueAkari…...
告别‘unbox’失败:Truffle项目初始化保姆级教程,从MetaCoin到自定义合约
告别‘unbox’失败:Truffle项目初始化保姆级教程,从MetaCoin到自定义合约 当你第一次接触Truffle框架时,那种兴奋感可能很快就会被truffle unbox metacoin命令失败的红字提示浇灭。别担心,这几乎是每个区块链开发者的必经之路。本…...
DMG2IMG终极指南:3分钟掌握苹果DMG文件跨平台转换技巧
DMG2IMG终极指南:3分钟掌握苹果DMG文件跨平台转换技巧 【免费下载链接】dmg2img DMG2IMG allows you to convert a (compressed) Apple Disk Images (imported from http://vu1tur.eu.org/dmg2img). Note: the master branch contains imported code, but lacks bug…...
避坑指南:Xilinx MIG降频配置与Synopsys VIP仿真的时序参数设置
Xilinx MIG降频配置与Synopsys VIP仿真的时序参数避坑指南 在高速存储接口设计中,DDR控制器的配置与验证往往是项目成败的关键节点。当遇到需要降频使用的场景时——比如标称2400MHz的颗粒实际运行在2000MHz——工程师往往会在时序参数配置和验证环境匹配上踩坑。本…...
