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【动态规划】【矩阵快速幂】LeetCode2851. 字符串转换

news 2025/7/9 7:53:38

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涉及知识点

【矩阵快速幂】封装类及测试用例及样例

LeetCode 2851. 字符串转换

给你两个长度都为 n 的字符串 s 和 t 。你可以对字符串 s 执行以下操作：
将 s 长度为 l （0 < l < n）的后缀字符串删除，并将它添加在 s 的开头。
比方说，s = ‘abcd’ ，那么一次操作中，你可以删除后缀 ‘cd’ ，并将它添加到 s 的开头，得到 s = ‘cdab’ 。
给你一个整数 k ，请你返回恰好 k 次操作将 s 变为 t 的方案数。
由于答案可能很大，返回答案对 109 + 7 取余后的结果。
示例 1：
输入：s = “abcd”, t = “cdab”, k = 2
输出：2
解释：
第一种方案：
第一次操作，选择 index = 3 开始的后缀，得到 s = “dabc” 。
第二次操作，选择 index = 3 开始的后缀，得到 s = “cdab” 。
第二种方案：
第一次操作，选择 index = 1 开始的后缀，得到 s = “bcda” 。
第二次操作，选择 index = 1 开始的后缀，得到 s = “cdab” 。
示例 2：
输入：s = “ababab”, t = “ababab”, k = 1
输出：2
解释：
第一种方案：
选择 index = 2 开始的后缀，得到 s = “ababab” 。
第二种方案：
选择 index = 4 开始的后缀，得到 s = “ababab” 。
提示：
2 <= s.length <= 5 * 10⁵
1 <= k <= 10¹⁵
s.length == t.length
s 和 t 都只包含小写英文字母。

矩阵快速幂

想到快速指数幂时，非常容易想到n阶方阵。n阶方阵自乘一次的时间复杂度就是O(n³)，严重超时。
可以优化到2阶方阵。
操作若干次后，假定s[0]的新下标为j。则s[j,n)+s[0,j) $\equiv$ s ，故若干操作后的状态，可以记为j。某次操作前状态为j1,操作后为j2，则 $j2\in[0,j1) \cup (j1,n) \quad \quad \quad \quad\quad 即除j1外的所有值$
性质一:j3 > 0 j4>0 操作若干次后，结果为j3和j4的可能数相等。
初始状态
pre[0]=1 其它为0 符合
前置状态符合pre[j3] == pre[j4]，操作一次后，后置状态符合dp[3]==dp[4]。
dp[j3] = $\Large \sum_{m:0}^{n-1}$ pre(m) - pre[j3]
dp[j4] = $\Large \sum_{m:0}^{n-1}$ pre(m) - pre[j4]
dp[j3]-dp[j4] = pre[j3]-pre[j4] = 0。

动态规划的状态表示

只需要两种状态j为0，j不为0。
pre[0] = 1,pre[1]=0

动态规划的转移方程

dp[0] = pre[1](n-1)
dp[1] = pre[0] +pre[1](n-2)

超时

k的最大值是10¹²，大幅超时。用矩阵指数幂。
令矩阵是mat则
$\begin{cases} dp[0] = pre[0]mat[0][0] + pre[1]mat[1][0] \\ dp[1] = pre[0]mat[0][1] + pre[1]mat[1][1] \\ \end{cases} \rightarrow\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ n-1 & n-2 \\ \end{bmatrix}$

KMP

还需要判断s[j,n)和t[0,j-n) 和 s[0,j)和t[j-n,n) 是否相等。

代码

核心代码

class KMP
{
public:virtual int Find(const string& s, const string& t){CalLen(t);m_vSameLen.assign(s.length(), 0);for (int i1 = 0, j = 0; i1 < s.length(); ){for (; (j < t.length()) && (i1 + j < s.length()) && (s[i1 + j] == t[j]); j++);//i2 = i1 + j 此时s[i1,i2)和t[0,j)相等 s[i2]和t[j]不存在或相等m_vSameLen[i1] = j;//t[0,j)的结尾索引是j-1，所以最长公共前缀为m_vLen[j-1]，简写为y 则t[0,y)等于t[j-y,j)等于s[i2-y,i2)if (0 == j){i1++;continue;}const int i2 = i1 + j;j = m_vLen[j - 1];i1 = i2 - j;//i2不变}for (int i = 0; i < m_vSameLen.size(); i++){//多余代码是为了增加可测试性if (t.length() == m_vSameLen[i]){return i;}}return -1;}vector<int> m_vSameLen;//m_vSame[i]记录 s[i...]和t[0...]最长公共前缀，增加可调试性static vector<int> Next(const string& s){const int len = s.length();vector<int> vNext(len, -1);for (int i = 1; i < len; i++){int next = vNext[i - 1];while ((-1 != next) && (s[next + 1] != s[i])){next = vNext[next];}vNext[i] = next + (s[next + 1] == s[i]);}return vNext;}
protected:void CalLen(const string& str){m_vLen.resize(str.length());for (int i = 1; i < str.length(); i++){int next = m_vLen[i - 1];while (str[next] != str[i]){if (0 == next){break;}next = m_vLen[0];}m_vLen[i] = next + (str[next] == str[i]);}}int m_c;vector<int> m_vLen;//m_vLen[i] 表示t[0,i]的最长公共前后缀	
};template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD){}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o){return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(long long n)const{C1097Int iRet = 1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}int ToInt()const{return m_iData;}
private:int m_iData = 0;;
};class CMat
{
public:// 矩阵乘法static vector<vector<long long>> multiply(const vector<vector<long long>>& a, const vector<vector<long long>>& b) {const int r = a.size(), c = b.front().size(), iK = a.front().size();assert(iK == b.size());vector<vector<long long>> ret(r, vector<long long>(c));for (int i = 0; i < r; i++){for (int j = 0; j < c; j++){for (int k = 0; k < iK; k++){ret[i][j] = (ret[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % s_llMod;}}}return ret;}// 矩阵快速幂static vector<vector<long long>> pow(const vector<vector<long long>>& a, vector<vector<long long>> b, long long n) {vector<vector<long long>> res = a;for (; n; n /= 2) {if (n % 2) {res = multiply(res, b);}b = multiply(b, b);}return res;}static vector<vector<long long>> TotalRow(const vector<vector<long long>>& a){vector<vector<long long>> b(a.front().size(), vector<long long>(1, 1));return multiply(a, b);}
protected:const static long long s_llMod = 1e9 + 7;
};class Solution {
public:int numberOfWays(string s, string t, long long k) {const int n = s.length();KMP kmp1,kmp2;kmp1.Find(t, s);kmp2.Find(s, t);vector<bool> vSame(n);for (int j = 0; j < n; j++){if (kmp1.m_vSameLen[j] >= (n - j)){// t[j,n) == s[0,n-j)if ((0==j)||(kmp2.m_vSameLen[n-j] >= j )){//s[n-j,n) == t[0,j)vSame[j] = true;}}}vector<vector<long long >> mat = { {0,1},{n-1,n-2} };vector<vector<long long >> pre = { {1,0} };auto res = CMat::pow(pre, mat, k);C1097Int<> biRet;for (int i = 0; i < n; i++){if (vSame[i]){biRet += res[0][0 != i];}}return biRet.ToInt();}
};

测试用例

template<class T,class T2>
void Assert(const T& t1, const T2& t2)
{assert(t1 == t2);
}template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{if (v1.size() != v2.size()){assert(false);return;}for (int i = 0; i < v1.size(); i++){Assert(v1[i], v2[i]);}}int main()
{		string s,t;long long k = 0;{Solution sln;s = "abcd", t = "cdab", k = 2;auto res = sln.numberOfWays(s, t, k);Assert(res,2);}{Solution sln;s = "ababab", t = "ababab", k = 1;auto res = sln.numberOfWays(s, t, k);Assert(res, 2);}}

2023年9月

class KMP
{
public:
virtual int Find(const string& s,const string& t )
{
CalLen(t);
m_vSameLen.assign(s.length(), 0);
for (int i1 = 0, j = 0; i1 < s.length(); )
{
for (; (j < t.length()) && (i1 + j < s.length()) && (s[i1 + j] == t[j]); j++);
//i2 = i1 + j 此时s[i1,i2)和t[0,j)相等 s[i2]和t[j]不存在或相等
m_vSameLen[i1] = j;
//t[0,j)的结尾索引是j-1，所以最长公共前缀为m_vLen[j-1]，简写为y 则t[0,y)等于t[j-y,j)等于s[i2-y,i2)
if (0 == j)
{
i1++;
continue;
}
const int i2 = i1 + j;
j = m_vLen[j - 1];
i1 = i2 - j;//i2不变
}

	for (int i = 0; i < m_vSameLen.size(); i++){//多余代码是为了增加可测试性if (t.length() == m_vSameLen[i]){return i;}}return -1;
}
vector<int> m_vSameLen;//m_vSame[i]记录 s[i...]和t[0...]最长公共前缀，增加可调试性

protected:
void CalLen(const string& str)
{
m_vLen.resize(str.length());
for (int i = 1; i < str.length(); i++)
{
int next = m_vLen[i-1];
while (str[next] != str[i])
{
if (0 == next)
{
break;
}
next = m_vLen[0];
}
m_vLen[i] = next + (str[next] == str[i]);
}
}
int m_c;
vector m_vLen;//m_vLen[i] 表示t[0,i]的最长公共前后缀
};

class CMat
{
public:
// 矩阵乘法
static vector<vector> multiply(vector<vector>& a, vector<vector>& b) {
vector<vector> c(2, vector(2));
for (int i = 0; i < 2; i++) {
for (int j = 0; j < 2; j++) {
c[i][j] = (a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j]) % s_llMod;
}
}
return c;
}
// 矩阵快速幂
static vector<vector> pow(vector<vector>& a, long long n) {
vector<vector> res = { {1, 0}, {0, 1} };
for (; n; n /= 2) {
if (n % 2) {
res = multiply(res, a);
}
a = multiply(a, a);
}
return res;
}
protected:
const static long long s_llMod = 1e9 + 7;
};

class Solution {
public:
int numberOfWays(string s, string t, long long k) {
int n = s.length();
KMP kmp1,kmp2;
kmp1.Find(s, t);
kmp2.Find(t, s);
int good = 0; //好下标的次数
for (int i = 0; i < n; i++)
{
const int leftLen = n - i;
if (kmp1.m_vSameLen[i] != leftLen)
{
continue;
}
const int rightLen = n - leftLen;
if ((0 == rightLen)|| (kmp2.m_vSameLen[n-rightLen] == rightLen ))
{
good++;
}
}
vector<vector> mat = { {good - 1,n-good},{good,n-good - 1} };
const int iGoodFirst = good - (s == t);//改变一次后，好下标的数量
vector<vector> vRes = { {iGoodFirst,n - iGoodFirst - 1},{0,0} };
k–;
auto matk = CMat::pow(mat,k);
vRes = CMat::multiply(vRes, matk);
return vRes[0][0];
}
};

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快

速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

我想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。