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迭代、递归、尾递归实现斐波那契数列的第n项

1.什么是斐波那契数列:

斐波那契数,亦称之为斐波那契数列(意大利语: Successione di Fibonacci),又称黄金分割数列、费波那西数列、费波拿契数、费氏数列和兔子数列,指的是这样一个数列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义:F0=0,F1=1,Fn=F(n-1)+F(n-2)(n>=2,n∈N*),用文字来说,就是斐波那契数列列由 0 和 1 开始,之后的斐波那契数列系数就由之前的两数相加。


学习内容:

这里我们针对以1,1,为前两项的斐波那契数列,(1,1,2,3,5,8,13……)某一项即为前两项的和,这里介绍三种方法来实现它

1.迭代法:

long fac(int x)//迭代
{int i;int a = 1;int b = 1;int c = 0;for (i = 0; i < x - 2; i++){c = a + b;a = b;b = c;}return c;
}
int main()
{int a;scanf("%d", &a);printf("%d", fac(a));return 0;
}

我们先将前两个1储存在a,b中,在第一个循环中,c接收了a和b的和,再让a接收b的值,b接收c的值。如此循环往复(x-2)次,最终c的值即为f(x).

在这过程中,a,b值的更新是为了令a=f(x-2),b=f(x-1).所需循环次数由下得出:

求第三项:只需进行一次循环,即进行一次相加

求第四项:进行两次循环,即进行两次相加

求第五项:进行三次循环,即进行三次相加

……

不难看出,求第x项时,就需要进行x-2次循环了


2.线性递归法

int fac(int x)//线性递归
{if (x == 1 || x == 2)return 1;elsereturn fac(x - 2) + fac(x - 1);

此种方法很简单,就是根据数学定义按部就班:F1=1,F2=1,Fn=F(n-1)+F(n-2)(n>=3,n∈N*)

3.尾递归

int fun(int n,int a,int b)
{if(n<3)return b;else
return fun(n-1,b,a+b);
}
int main()
{
printf("%d",fun(5,1,1));
return 0;
}

我们来验证一下fun函数的功能,首先传参时必须保证形参a,b都接收1,传递(5,1,1,),过程如下:

fun(4,1,2)

fun(3,2,3)

fun(2,3,5)

当n-1=2时,函数就会返回第三形参——5


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