迭代、递归、尾递归实现斐波那契数列的第n项

1.什么是斐波那契数列：

斐波那契数，亦称之为斐波那契数列（意大利语： Successione di Fibonacci)，又称黄金分割数列、费波那西数列、费波拿契数、费氏数列和兔子数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*），用文字来说，就是斐波那契数列列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数列系数就由之前的两数相加。

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学习内容：

这里我们针对以1,1,为前两项的斐波那契数列，（1,1,2,3,5,8,13……）某一项即为前两项的和，这里介绍三种方法来实现它

1.迭代法：

long fac(int x)//迭代
{int i;int a = 1;int b = 1;int c = 0;for (i = 0; i < x - 2; i++){c = a + b;a = b;b = c;}return c;
}
int main()
{int a;scanf("%d", &a);printf("%d", fac(a));return 0;
}

我们先将前两个1储存在a,b中，在第一个循环中，c接收了a和b的和，再让a接收b的值，b接收c的值。如此循环往复（x-2）次，最终c的值即为f（x）.

在这过程中，a,b值的更新是为了令a=f（x-2）,b=f(x-1).所需循环次数由下得出：

求第三项：只需进行一次循环，即进行一次相加

求第四项：进行两次循环，即进行两次相加

求第五项：进行三次循环，即进行三次相加

……

不难看出，求第x项时，就需要进行x-2次循环了

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2.线性递归法

int fac(int x)//线性递归
{if (x == 1 || x == 2)return 1;elsereturn fac(x - 2) + fac(x - 1);

此种方法很简单，就是根据数学定义按部就班：F1=1，F2=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）

3.尾递归

int fun(int n,int a,int b)
{if(n<3)return b;else
return fun(n-1,b,a+b);
}
int main()
{
printf("%d",fun(5,1,1));
return 0;
}

我们来验证一下fun函数的功能，首先传参时必须保证形参a，b都接收1，传递（5,1,1,），过程如下：

fun(4,1,2)

fun(3,2,3)

fun(2,3,5)

当n-1=2时，函数就会返回第三形参——5

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