Leetcoder Day21｜ 回溯理论基础+组合

语言：Java/Go

回溯理论基础

回溯函数也就是递归函数；

所有回溯法的问题都可以抽象为树形结构；

回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，都构成的树的深度。

适用的题目类型：

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

组合无序，排列有序

回溯法解题模板

• 回溯函数返回值及参数：回溯算法中函数返回值一般为void。需要什么参数，就填什么参数

  void backtracking(参数)

• 回溯函数终止条件：一般搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。

  if (终止条件) {存放结果;return;
  }

• 回溯搜索的遍历过程        上图中，集合大小和孩子的数量是相等的，for循环就是遍历集合区间，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次。for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了

  for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果
  }

因此，回溯算法模板框架如下：

void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果}
}

组合

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

示例 1：

输入：n = 4, k = 2
输出：
[[2,4],[3,4],[2,3],[1,2],[1,3],[1,4],
]

组合的题目如果单纯的采用for循环暴力求解，k越大，for嵌套层数就越多很崩溃。因此采用回溯算法，当然，回溯算法本身也是暴力求解，但胜在书写方便。其原理是用递归来解决嵌套层数的问题。每一次的递归中嵌套一个for循环，就可以用于解决多层嵌套循环的问题了。

因此把上面的组合问题抽象为如下树形结构：

这棵树一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不再重复取。第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。n相当于树的宽度，k相当于树的深度，图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。

因此首先确定回溯三部曲：

• 递归函数的返回值以及参数：首先要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合；函数里有n和k两个int型的参数；还需要一个参数，为int型变量startIdx，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历。startIdx 是防止出现重复的组合。在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIdx。用startIdx来记录下一层递归，搜索的起始位置。

• 回溯函数终止条件：path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。
• 单层搜索的过程：for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i；backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。然后进行回溯，撤销本次处理的结果，便于进行下一次递归。

剪枝优化

如果n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。

所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

看一下优化过程如下：

1. 已经选择的元素个数：path.size();

2. 还需要的元素个数为: k - path.size();

3. 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

所以优化之后的for循环是：

for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置

class Solution {List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();public void backTracking(int n, int k, int startIdx){//startIdx标志从哪开始循环if(path.size()==k){res.add(new ArrayList<>(path));return;}for(int i=startIdx;i<=n-(k-path.size())+1;i++){//剪枝path.add(i);backTracking(n,k,i+1);  //递归path.removeLast();}}    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {backTracking(n,k,1);return res;}
}

今日心得

开启回溯章节，在这一章要多熟悉回溯三部曲，以及捋清楚回溯的内在逻辑。并且注意数组、列表和树的操作。