【LeetCode-300】最长递增子序列(动归)

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题目描述

解法1：动态规划

代码实现

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题目描述

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

• 输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]

• 输出：4

• 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

• 输入：nums = [0,1,0,3,2,3]

• 输出：4

示例 3：

• 输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]

• 输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500

• -10^4 <= nums[i] <= 104

解法1：动态规划

这里我们可以使用dp数组，dp[i]表示了以数组nums[i]结尾的递增子序列。

1. dp[i]的定义

dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度，包括了自身，所以dp[0] = 1

为什么一定表示 “以nums[i]结尾的最长递增子序” ，因为我们在 做 递增比较的时候，如果比较 nums[j] 和 nums[i] 的大小，那么两个递增子序列一定分别以nums[j]为结尾 和 nums[i]为结尾， 要不然这个比较就没有意义了，不是尾部元素的比较那么 如何算递增呢。

1. 状态转移方程

位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。

所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。

1. dp[i]的初始化

每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.

1. 确定遍历顺序

dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。

j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。

遍历i的循环在外层，遍历j则在内层，代码如下：

for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}

代码实现

public class L300 {public int lengthOfLIS(int[] nums) {int len = nums.length;if (len == 1) return 1;int[] dp = new int[len];dp[0] = 1;for (int i = 1; i < len; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i]>nums[j]) {dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]);}}dp[i]++;}
​return dp[len-1];}
}