机试指南：Ch5:线性数据结构 Ch6:递归与分治

第5章 线性数据结构

1.当定义的数组特别大，达到1千万时，不能定义在函数内部，会崩溃。栈比较小，但快。
要定义在全局位置，数据段中。
【局部大数组会崩溃，全局大数组不会崩溃】

2.标准模板库STL

1.向量 vector

vector是动态数组，长度可改变。 vector<int> vec;//创建空向量，长度为0
普通静态数组长度是固定不变的。int arr[100];//创建长度为100的静态数组

1.头文件

#include <vector>
using namespace std;

2.声明向量

vector<int> vec;//长度为0

3.赋初值

vector<int> vec2 = {1,2,3};

4.申请一定空间的向量，所有元素初值默认为0

vector<int> vec3(10000);

※5.尾部插入：尾部扩容 push_back(元素) 。效率最高，插入n个为O(n)，插入1个为O(1)。

vec.push_back(1);//vec[0]=1
vec.push_back(3);//vec[1]=3

※6.任意位置插入：

vec.insert(pos,[个数,]内容);//头部插入字符串
vec.insert(vec.begin(),str);

※7.尾部删除：弹出尾部元素 pop_back()

vec.pop_back();

※8.下标访问

vec[i] //下标>=n时，数组越界

9.长度计算

vec.size();

10.两种遍历方法
①下标遍历

for(unsigned int i = 0; i < vec.size(); ++i){printf("vec[%d] = %d\n",i,vec[i]);
}

②迭代器遍历

for(vector<int>::iterator it = vec.begin(); it != vec.end(); ++it){printf("vec[] = %d\n",*it);
}

11.随机位置的插入：insert(位置，元素)

vector<int>::iterator it1 = vec.begin()+1;//迭代器指针指向vector的第二个位置
vec.insert(it1，3);//在vector第二个位置插入元素3

12.随机位置的删除：erase(位置);

vec.erase(vec.begin());//删除vector的第一个位置的元素

13.vector的实现原理
(1)vector的组成、申请空间(堆上)
vector是类类型，包括size容量、capacity内存大小、ptr首地址
首地址存放在栈上，但vector申请的内存空间在堆区上，堆区比栈区大，因此vector可申请空间比静态数组在栈上申请的空间可以大很多。【静态数组 - 栈 - 小空间。 vector - 堆- 大空间】

(2)vector的扩容机制

2.队列 queue

(1)队列的特点、应用

1.队列的特点
队列queue是受限制的线性表
先进先出，FIFO
队尾入队，队头出队。

2.队列应用：
广度优先遍历 BFS

(2)基本操作

0.头文件

#include <queue>
using namespace std;queue<int> myQueue;

1.队尾入队 .push(变量名)

for(int i = 0;i <= 5;++i){myQueue.push(i);
}

2.队头出队 .pop()
3.判空 .empty()
4.队首元素 .front()
5.队尾元素 .back()

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;int main() {//队列初始化queue<int> myQueue;//判空if(myQueue.empty()){cout << "myQueue is empty!" << endl;}//队尾入队for(int i = 0 ; i < 10; ++i){myQueue.push(i);//打印队首、队尾cout << "队首:" << myQueue.front() << "  队尾:" << myQueue.back() << endl;}cout << "---------------" << endl;//队首出队for(int i = 0 ; i < 9; ++i){myQueue.pop();//打印队首、队尾cout << "队首:" << myQueue.front() << "  队尾:" << myQueue.back() << endl;}return 0;
}

(3)例题

例题1：约瑟夫问题2 （难度：中等）

提交网址：http://bailian.openjudge.cn/practice/3254

思路：队头元素插入队尾，然后队头元素出队，以此实现循环队列

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;int main() {queue<int> myQueue;int n,p,m;while(cin >> n >> p >> m){if(n==0 && p==0 && m==0)  break;//初始化队列for(int i = 1; i <= n; ++i){myQueue.push(i);}//将编号为p旋转到队头for(int i = 1; i < p; ++i) {  //将1到p-1号元素从队头调整到队尾myQueue.push(myQueue.front()); //队头元素插入队尾myQueue.pop(); //队头出队}//开始计数过程while(!myQueue.empty()){//将m-1个元素从队头调整到队尾for(int i = 1; i < m; ++i){myQueue.push(myQueue.front());myQueue.pop();}//打印并移除第m个元素cout << myQueue.front();if(myQueue.size() > 1) cout << ",";myQueue.pop();}cout << endl;}return 0;
}

(4)习题

习题1：排队打饭 （难度：中等）

提交网址：https://www.acwing.com/problem/content/description/5063/

几个注意事项：
①可能前面有连续几个没打上饭的，得用int记录而不是bool
②有些数值超过了int的表示范围，将数组由int类型改为long long

#include <iostream>
using namespace std;int main() {int n;long long a[100010],t[100010],b[100010],res[100010]; //a[i]为到达时刻,t[i]为打饭耗时,b[i]为最大等待时长,res[i]为打饭时刻或-1cin >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i){cin >> a[i] >> t[i] >> b[i];}res[1] = a[1];  //第一位同学到达后立即开始打饭cout << res[1] <<" ";int count = 0; //count记录前面有连续多少位同学没有打上饭for(int i = 2; i <= n; ++i){if(a[i]+b[i] < res[i-1-count]+t[i-1-count]){ //上一位开始打饭时间+打饭耗时超过了该同学最大等待时间,则放弃打饭cout << "-1 ";count++;}else{res[i] = max(res[i-1-count]+t[i-1-count],a[i]); //max(最早可以打饭时刻,该同学到达时间)cout << res[i] << " ";count = 0;}}cout << endl;return 0;
}

3.栈 stack

(1)栈的特点、应用

1.栈的特点
栈也是操作受限的线性表，只能一端进出。
后进先出
栈，禁止操作的一端称为盲端。允许元素插入和删除的一端称为栈顶。

2.栈的应用
①深度优先遍历 DFS：逆序输出
②表达式解析、表达式求值
③递归
④括号匹配

(2)基本操作

0.头文件

#include <stack>
using namespace std;

1.初始化

stack<typename> myStack//定义

2.方法
.push()：压栈，将元素加入栈中
.pop()：弹栈
.top()：获取栈顶内容
.size()：栈大小
.empty()：判断栈是否为空

#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;int main() {//栈初始化stack<int> myStack;//栈判空if(myStack.empty()){cout << "myStack is empty!" << endl;}//入栈(压栈)for(int i = 0; i < 10 ; ++i){myStack.push(i);cout << "top is " << myStack.top() << endl;}cout << "---------------" <<endl;//出栈(弹栈)for(int i = 0 ; i < 9; ++i){myStack.pop();cout << "top is " << myStack.top() << endl;}return 0;
}

(3)例题

例题1：编排字符串 （难度：简单）

提交网址：https://www.acwing.com/problem/content/3578/

思路：准备一个临时栈，用于演示弹栈

#include <iostream>
#include <stack>
#include <string>
using namespace std;int main() {string str;stack<string> myStack,tempStack;int m;cin >> m;for(int i = 0; i < m; ++i){cin >> str;myStack.push(str);tempStack = myStack;for(int i = 1; !tempStack.empty(); ++i){if(i > 4) break;  //最多输出4个字符串cout << i << "=" << tempStack.top() << " ";tempStack.pop();}cout << endl;}return 0;
}

例题2：括号匹配 （难度：中等）

提交网址：https://www.acwing.com/problem/content/3696/

思路：栈实现。遇到右括号都是同一种思路，写好一个else if，后面都是复制了

#include <iostream>
#include <string>
#include <stack>
using namespace std;int main() {stack<char> myStack;string str;cin >> str;for(int i = 0; i < str.size(); ++i){//1.遇到左括号,入栈if(str[i] == '<' || str[i] == '(' || str[i] == '[' || str[i] == '{'){myStack.push(str[i]);}//2.遇到右尖括号else if(str[i] == '>'){if(myStack.empty() || myStack.top()!='<'){cout << "no" << endl;return 0;}else{  //栈顶就是左尖括号,匹配myStack.pop();}}//3.遇到右小括号else if(str[i] == ')'){if(myStack.empty() || myStack.top()!='('){cout << "no" << endl;return 0;}else{  //栈顶就是左小括号,匹配myStack.pop();}}//4.遇到右中括号else if(str[i] == ']'){if(myStack.empty() || myStack.top()!='['){cout << "no" << endl;return 0;}else{  //栈顶就是左中括号,匹配myStack.pop();}}//5.遇到右大括号else if(str[i] == '}'){if(myStack.empty() || myStack.top()!='{'){cout << "no" << endl;return 0;}else{  //栈顶就是左大括号,匹配myStack.pop();}}}if(myStack.empty())    cout << "yes" << endl;else                   cout << "no"  << endl;return 0;
}

例题3：计算表达式 （难度：困难）

提交网址：http://t.cn/AiKKJjJ5

#include <stdio.h>
#include <string>
#include <stack>
#include <map>
using namespace std;
int main() {char str[1000] = { 0 };map<char, int> priority = {{'\0',0},{'+',1},{'-',1},{'*',2},{'/',2}};while (scanf("%s", str) != EOF) {string numStr = "";stack<char> opStack;stack<double> numStack;for (int i = 0; ; ++i) {if (str[i] >= '0' && str[i] <= '9') {numStr.push_back(str[i]);}else {double num = stod(numStr);numStr = "";numStack.push(num);// 什么时候弹栈？ 栈非空 && 新op的优先级 不高于 栈顶的优先级// 循环弹栈和计算while (!opStack.empty() &&priority[str[i]] <= priority[opStack.top()]) {double rhs = numStack.top();numStack.pop();double lhs = numStack.top();numStack.pop();char curOp = opStack.top();opStack.pop();if (curOp == '+') {numStack.push(lhs + rhs);}else if (curOp == '-') {numStack.push(lhs - rhs);}else if (curOp == '*') {numStack.push(lhs * rhs);}else if (curOp == '/') {numStack.push(lhs / rhs);}}// 栈为空 或者 新op的优先级高于栈顶if (str[i] == '\0') {printf("%d\n", (int)numStack.top());break;}else {opStack.push(str[i]);}}}}return 0;
}

(4)习题

习题1：堆栈的使用 （难度：简单）

提交网址：http://t.cn/AiKKM6F6

#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;int main() {int n;while(cin >> n){stack<int> myStack;char c;int a;for(int i = 0; i < n; ++i){cin >> c;if(c == 'A'){if(myStack.empty()) cout << "E" << endl;else                cout << myStack.top() << endl;}else if(c == 'P'){cin >> a;myStack.push(a);}else if(c == 'O'){if(!myStack.empty())    myStack.pop();}}}return 0;
}

习题2：模拟出入栈游戏 （难度：中等）

提交网址：https://www.acwing.com/problem/content/3681/

注意，栈的初始化放在while循环里。放在外面可能会因为上一轮未清空，受脏数据影响

#include <iostream>
#include <stack>
#include <string>
using namespace std;int main() {string str1 = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz",str2;while(cin >> str2){stack<char> stk;int k = 0;for(int i = 0 ; i < str1.size(); ++i){stk.push(str1[i]);while(stk.size() && k < str2.size() && stk.top() == str2[k]){//核心while循环:stk.pop();                            //比较栈顶元素和字符串str2中当前位置的字符是否相等k++;}}if(stk.empty())  cout << "yes" << endl;else             cout << "no"  << endl;}return 0;
}

习题3：简单计算器 （难度：困难）

提交网址：http://t.cn/AiKoGS94

第6章 递归与分治

1.递归

(1)原理

1.什么是递归？
函数在函数体内调用自身函数的行为叫做递归
（在函数定义中调用本函数，叫做递归）

2.递归的原理：
①代码段：PC走到被调函数的入口
②栈区：栈帧压入栈内

逐过程、逐语句

3.如何使用递归？
①递归一定要有递归出口
②每次递归，变量条件向着递归出口靠近

4.递归与分治的关系：
分治是一种思想，分而治之；递归是一种实现方法，函数调用自己。
分治思想可用递归来实现，也可以用其他方法来实现。递归作为一种方法，不止可以用于实现递归思想，也可以用来实现其他思想。
但总的来说，一般都用递归方法来实现分治的思想。故两者本不是同一纬度的概念，但是经常放在一起谈论。

常见的分治：求斐波那契数列、快速排序
常见的递归：求n的阶乘

5.2023旧版本内容：
从函数到递归

①大问题→小问题，等价条件
②确定最小问题，即递归出口

①函数

C语言编写的代码，以函数定义为单位。

call：把PC移到被调函数
ret：把PC移回主调函数

②递归

递归关注的两个点：
①大问题转化为小问题：规模n→规模n-1
②最小问题：递归出口

(2)例题

例题1：n的阶乘 （难度：入门）

提交网址：https://www.nowcoder.com/share/jump/2891302591709206218373

C++：

#include <iostream>
using namespace std;long long factorial(int n){if(n == 0 || n == 1)    return n;else{return n * factorial(n-1);}
}int main(){int n;cin >> n;cout << factorial(n);return 0;
}

C语言：

#include <cstdio>long long int Factorial(int n){if(n == 0){return 1;}else{return n*Factorial(n-1);}
}int main(){int n;while(scanf("%d",&n) != EOF){printf("%lld",Factorial(n));}return 0;
}

例题2：汉诺塔Ⅲ （难度：简单）【分治法-递归】

思路：
①n-1片为整体，先由第一柱搬到第三柱，最大片由第一柱搬到第二柱；[Hanoi(n-1) + 1]
②n-1片从第三柱搬回第一柱，最大片由第二柱搬到第三柱； [Hanoi(n-1) + 1]
③n-1片由第一柱搬到第三柱，完成。[Hanoi(n-1)]

#include <iostream>
using namespace std;long long Hanoi(int n){ //搬运n片共需要Hanoi(n)步if(n == 1){return 2; }else{return 3 * Hanoi(n-1) + 2; }
}int main() {int n;while(cin >> n){cout << Hanoi(n) << endl;}return 0;
}

2.分治

(1)原理

1.名称解释
分治法，分而治之 (divide-and-conquer method)

2.分治法的两个要素
①大问题转化为相似的小问题，直至转化为最小问题
②最小问题的解决方案

3.分治法的代码模板
①分解：大问题拆成小问题
②治理：找到等价条件，解决递归出口(最小问题)
③合并

(2)例题

例题1：跳台阶 （难度：简单)

提交网址：https://www.acwing.com/problem/content/823/

思路：因为每次只能走1级或2级台阶，所以走n级台阶只会是从n-1或n-2级台阶上去的。根据加法原理，这两种方案的数量可以相加得到走n级台阶的方案。同样的，走n-1级的方案可以拆分为走n-2级和走n-3级方案之和。

#include <iostream>
using namespace std;int f(int n){if(n == 1){return 1;}else if(n == 2){return 2;}else{return f(n-1) + f(n-2);}
}int main() {int n; //n级台阶while(cin >> n){cout << f(n) << endl;}return 0;
}

测试可得：
f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，f(4)=5，f(5)=8，f(6)=13，f(7)=21 …
可知，跳台阶问题是斐波那契数列问题的变形，即后一个值是前两个值之和。

优化分析：
但是由栈帧示意图，我们发现很多f(n)会重复计算多次。当n很大时，该算法的效率会很低。我们自然而然地想到如何避免重复计算从而提高函数的效率。

优化:用数组存储已经计算过的结果

例题2：不连续1的子串（难度：中等）

提交网址：https://www.acwing.com/problem/content/3709/

24炉灰老师：分解为小问题，并给出最小问题的解决方案(递归出口)

#include <iostream>
using namespace std;int f0(int n); // 函数声明写在前面,
int f1(int n); // 则这两个函数就可以交叉调用int f0(int n){ // 末尾为0if(n == 1){return 1;}else{return f0(n-1) + f1(n-1);};
}int f1(int n){ // 末尾为1if(n == 1){return 1;}else{return f0(n-1);}
}int main() {int n;while(cin >> n){cout << f0(n)+f1(n) << endl;}return 0;
}

例题3：2的幂次方（难度：困难）

提交网址：https://www.acwing.com/problem/content/3486/

分析：由大问题分解为小问题，用分治法

将n转化为2的指数形式：

24炉灰老师

#include <stdio.h>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;
string Get2sExponet(int n) {if (n == 0) {return "0";}vector<int> exp;for (int i = 15; i >= 0; --i) {if ((n & (1 << i)) != 0) {exp.push_back(i);}}// n = 2^(exp[0]) + 2^(exp[1]) + ... + 2^(exp[size-1])string res = "";for (int i = 0; i < exp.size(); ++i) {if (i != 0) {res += "+";}if (exp[i] == 1) {res += "2";}else {res += "2(" + Get2sExponet(exp[i]) + ")";}}return res;
}
int main() {int n;while (scanf("%d", &n) != EOF) {printf("%s\n", Get2sExponet(n).c_str());}return 0;
}

(3)习题

习题1：Fibonacci （难度：入门）

提交网址：http://t.cn/Ai0K3tU5

解法1：斐波那契数列，递归实现
C语言版本：

#include <cstdio>int Fibonacci(int n ){if(n == 0 || n == 1){return n;}else{return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);}
}int main(){int n;while(scanf("%d",&n) != EOF){printf("%d\n",Fibonacci(n));}return 0;
}

C++版本：

#include <iostream>
using namespace std;int Fibonacci(int n){if(n == 0 || n == 1){return n;}else{return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);}
}int main(){int n;while(cin >> n){cout << Fibonacci(n);}return 0;
}

解法2：斐波那契数列（非递归实现，循环实现）

#include <cstdio>int fib(int n){int n1 = 1;int n2 = 1;int ret = 0;if (n==1 || n==2){return 1;}for (int i = 3; i <= n; i++){ //通过循环计算n>=3时ret = n1 + n2;n1 = n2;n2 = ret;}return ret;
}int main(){int n = 0;scanf("%d", &n);int ret = fib(n);printf("%d\n",ret);return 0;
}

解法3：斐波那契数列（非递归实现，动态规划实现）

#include <cstdio>int dp[91];int Fibonacci(int n){dp[1] = 1;dp[2] = 2;for(int i = 3 ; i <= n; ++i){ //3-ndp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];}return dp[n];
}int main(){int n;while(scanf("%d",&n) != EOF){printf("%d\n",Fibonacci(n));}return 0;
}

习题2：二叉树 （难度：简单）【递归】

提交网址：http://t.cn/Ai0Ke6I0

C++版本：根结点 + 左子树 + 右子树
如图，编号为m的结点，左孩子编号为2m，右孩子编号为2m+1

#include <iostream>
using namespace std;int binarytree(int m,int n){if(m > n){return 0;}else{         //如图,编号为m的结点,左孩子编号为2m，右孩子编号为2m+1return 1 + binarytree(2*m,n) + binarytree(2*m+1,n); //根结点 + 左子树 + 右子树}
}int main(){int m,n; //m为父结点编号,n为总结点数while(cin >> m >> n){if(m==0 && n==0) break;cout << binarytree(m,n) << endl;}return 0;
}

C语言版本：

#include <cstdio>int binaryTree(int m,int n){if(m>n){return 0;}else{return binaryTree(2*m,n) + binaryTree(2*m+1,n) + 1;}
}int main(){int m,n;while(scanf("%d %d",&m,&n) != EOF){if(m<=0 && n<=0){break;}printf("%d\n",binaryTree(m,n));}
}

习题3：骨牌铺地砖 （难度：简单） 【动态规划】

提交网址：https://www.acwing.com/problem/content/3690/

思路：

用递归会超时，改用动态规划，数组保存计算结果，避免重复计算

#include <iostream>
using namespace std;int dp[10010];long long Fibonacci(int n){dp[0] = 0;dp[1] = 1;dp[2] = 2;for(int i = 3; i <= n; ++i){dp[i] = (dp[i-1] + dp[i-2]) % 999983;}return dp[n];
}int main() {int n;cin >> n;cout << Fibonacci(n);return 0;
}

习题4：矩阵幂 （难度：中等） 【矩阵计算】

提交网址：https://www.acwing.com/problem/content/3690/

学会计算 矩阵C = A×B
核心代码：

for(int i = 0; i < n; ++i){for(int j = 0; j < n; ++j){for(int k = 0; k < n; ++k){      //矩阵C = 矩阵A × 矩阵B:C[i][j] += A[i][k]*B[k][j]; //C[i][j] = A的第i行×B的第j列所有对应元素}}
}

答案：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 11;
int A[N][N],B[N][N],C[N][N];int main() {int n,m; //n为矩阵的阶,m为矩阵的幂cin >> n >> m;memset(A,0,sizeof(A));//输入矩阵Afor(int i = 0; i < n; ++i){for(int j = 0; j < n; ++j){cin >> A[i][j];}}//计算m次幂//(1)若m为1,输出原矩阵if(m == 1){for(int i = 0; i < n; ++i){for(int j = 0; j < n; ++j){cout << A[i][j] << " ";}cout << endl;}return 0;}//(2)若m>1,计算 矩阵 C = A×Bmemcpy(B,A,sizeof(A));while(--m){memset(C,0,sizeof(C));for(int i = 0; i < n; ++i){for(int j = 0; j < n; ++j){for(int k = 0; k < n; ++k){      //矩阵C = 矩阵A × 矩阵B:C[i][j] += A[i][k]*B[k][j]; //C[i][j] = A的第i行×B的第j列所有对应元素}}}memcpy(B,C,sizeof(C)); //这次的幂次运算结果C赋值给B}//输出矩阵Cfor(int i = 0; i < n; ++i){for(int j = 0; j < n; ++j){cout << C[i][j] << " ";}cout << endl;}return 0;
}

习题5：全排列 （难度：困难）【递归回溯法 - DFS】

提交网址：https://www.acwing.com/problem/content/3690/

来自一位网友的答案：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void backtracking(string tmp,string s)
{if(tmp.size()==s.size())cout<<tmp<<endl;else{for(int i=0;i<s.size();++i){if(tmp.find(s[i])!=tmp.npos) continue;backtracking(tmp+s[i],s);}}
}
int main()
{string s,tmp=""; while(cin>>s)backtracking(tmp,s);   return 0;}