3dgs学习（二）—— 3d高斯与协方差矩阵及其几何意义

协方差矩阵与3d高斯

3d高斯与椭球与协方差矩阵

3d高斯，及3维空间内的正态分布。
通过一元正态分布的坐标系图像不难想象，3维空间中的正态分布点集中在一片椭球空间中，各方向长轴取决于各方向正态分布的方差。

而协方差矩阵通过计算多元之间的协方差关系，反映了椭球在空间中所呈现的几何形态，具体表现方法见下文。

协方差矩阵的几何意义

参考文章：https://www.zhihu.com/tardis/zm/art/37609917?source_id=1005

• 多元正态分布函数表达式如下：
  
• 可简化为：（忽略常数，μ为0）
  
• 考虑线性变换 t = Mx
• 引入缩放矩阵S

3维空间中则在3个轴上进行缩放，需要一个3*3*3的对角线矩阵

• 引入旋转矩阵R
  
• 通过左乘变换矩阵的规则可知，变化矩阵M = RS
• 又x = M⁻¹t，通过带入化简后的多元正态分布表达式，可以得到
  ∑ = MMᵀ
• 综上可以得到 ∑ = RSSᵀRᵀ
  即得到协方差函数所表示的放缩/旋转几何意义
  对应该放缩/旋转操作所得到的空间内唯一形状的椭球
  及对应唯一的一组3d高斯表达。
• 这样的变换会在后面的加快参数更新中得到应用